Номер 17, страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора $\vec{AB} - \vec{AC}$.

Для нахождения длины вектора, который является разностью векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, можно воспользоваться геометрическим правилом вычитания векторов.

Согласно правилу вычитания векторов, отложенных от одной точки (в данном случае от точки A), вектор разности $\vec{AB} - \vec{AC}$ направлен от конца вычитаемого вектора ($\vec{AC}$) к концу уменьшаемого вектора ($\vec{AB}$). Это означает, что вектор разности совпадает с вектором $\vec{CB}$.

Математически это записывается так:

$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$

Следовательно, задача сводится к нахождению длины (модуля) вектора $\vec{CB}$, которая равна длине стороны CB треугольника ABC.

По условию задачи, треугольник ABC является правильным, то есть равносторонним. Длина каждой его стороны равна 3. Таким образом, длина стороны CB также равна 3.

$|\vec{CB}| = 3$

Отсюда следует, что искомая длина вектора $\vec{AB} - \vec{AC}$ тоже равна 3.

В качестве проверки можно использовать алгебраический метод, основанный на скалярном произведении. Квадрат длины вектора разности равен:

$|\vec{AB} - \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Так как треугольник правильный, угол $\angle BAC$ равен 60°.

Подставляем известные значения:

$|\vec{AB} - \vec{AC}|^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos(60^{\circ}) = 9 + 9 - 18 \cdot \frac{1}{2} = 18 - 9 = 9$

Тогда длина вектора равна:

$|\vec{AB} - \vec{AC}| = \sqrt{9} = 3$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 3