Номер 21, страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Стороны правильного треугольника ABC равны 3, O — центр описанной окружности. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов, а $\alpha$ — угол между ними. Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ нам необходимо найти их длины и угол между ними, $\angle AOB$.

1. Нахождение длин векторов.

Поскольку O — центр описанной окружности правильного треугольника ABC, а A и B — его вершины, то длины векторов $|\vec{OA}|$ и $|\vec{OB}|$ равны радиусу $R$ этой окружности. Радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

По условию, сторона треугольника $a = 3$. Подставим это значение в формулу:

$R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = R = \sqrt{3}$.

2. Нахождение угла между векторами.

Угол $\angle AOB$ — это центральный угол, опирающийся на сторону AB правильного треугольника, вписанного в окружность. Так как все стороны правильного треугольника равны, они стягивают равные дуги. Полная окружность составляет $360^\circ$, поэтому угол, соответствующий одной стороне, равен:

$\angle AOB = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

3. Вычисление скалярного произведения.

Теперь, зная длины векторов и угол между ними, мы можем вычислить их скалярное произведение:

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| \cdot |\vec{OB}| \cdot \cos(\angle AOB) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(120^\circ)$.

Значение косинуса $120^\circ$ равно $-\frac{1}{2}$.

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1.5$.

Ответ: -1.5