Номер 16, страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Стороны правильного треугольника $ABC$ равны $1$. Найдите длину вектора $\vec{AB} + \vec{AC}$.

Поскольку треугольник $ABC$ — правильный, все его стороны равны 1, и все углы равны $60^\circ$. Нам нужно найти длину вектора, который является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Длина вектора $\vec{v}$ обозначается как $|\vec{v}|$.

Способ 1: Использование правила параллелограмма (или медианы)

Сумму двух векторов, выходящих из одной точки, можно найти по правилу параллелограмма. Достроим на векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ как на сторонах параллелограмм $ABDC$. Тогда сумма векторов $\vec{AB} + \vec{AC}$ будет равна вектору диагонали $\vec{AD}$. Нам нужно найти длину этой диагонали, то есть $|\vec{AD}|$.

Более простой вариант этого метода — использование правила медианы. Сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равна удвоенному вектору медианы $\vec{AM}$, где $M$ — середина стороны $BC$.

$\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM}$

Следовательно, длина искомого вектора равна:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = |2\vec{AM}| = 2 \cdot |\vec{AM}|$

В правильном треугольнике медиана $AM$ также является и высотой. Мы можем найти ее длину из прямоугольного треугольника $AMC$. В этом треугольнике гипотенуза $AC$ равна 1, а катет $MC$ равен половине стороны $BC$, то есть $MC = \frac{1}{2}$.

По теореме Пифагора:

$|AM|^2 + |MC|^2 = |AC|^2$

$|AM|^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1^2$

$|AM|^2 + \frac{1}{4} = 1$

$|AM|^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$|\vec{AM}| = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем длину суммарного вектора:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = 2 \cdot |\vec{AM}| = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Способ 2: Использование скалярного произведения

Длину вектора можно найти через его скалярный квадрат: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = (\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{AC})$

Раскрывая скобки по правилам скалярного произведения, получаем:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + \vec{AC} \cdot \vec{AC}$

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + |\vec{AC}|^2$

Из условия задачи мы знаем, что $|\vec{AB}| = 1$ и $|\vec{AC}| = 1$.

Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ вычисляется по формуле:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — это угол $BAC$ правильного треугольника, который равен $60^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = 1^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$

Отсюда находим искомую длину вектора:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$.