Номер 13, страница 151 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Диагонали AC и BD ромба ABCD пересекаются в точке O и равны соответственно 12 и 16. Найдите длину вектора $\vec{AO} + \vec{BO}$.

13. По условию задачи дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Длины диагоналей равны $AC = 12$ и $BD = 16$. Требуется найти длину вектора $\vec{AO} + \vec{BO}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами диагоналей ромба:

1. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Из первого свойства следует, что точка $O$ является серединой каждой из диагоналей. Это позволяет нам найти длины отрезков $AO$ и $BO$, которые также являются длинами (модулями) векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$:

$|\vec{AO}| = AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$

$|\vec{BO}| = BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$

Так как точка $O$ — середина диагонали $BD$, то вектор, идущий из точки $B$ в точку $O$, равен вектору, идущему из точки $O$ в точку $D$. Таким образом, мы можем записать равенство векторов: $\vec{BO} = \vec{OD}$.

Теперь преобразуем искомую сумму векторов, заменив вектор $\vec{BO}$ на равный ему вектор $\vec{OD}$:

$\vec{AO} + \vec{BO} = \vec{AO} + \vec{OD}$

Согласно правилу треугольника (также известному как правило Шаля) для сложения векторов, сумма $\vec{AO} + \vec{OD}$ равна вектору $\vec{AD}$:

$\vec{AO} + \vec{OD} = \vec{AD}$

Это означает, что искомая длина суммы векторов равна длине вектора $\vec{AD}$, то есть длине стороны ромба $AD$:

$|\vec{AO} + \vec{BO}| = |\vec{AD}| = AD$

Чтобы найти длину стороны $AD$, рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Из второго свойства ромба мы знаем, что его диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$), следовательно, угол $\angle AOD$ прямой, и треугольник $\triangle AOD$ является прямоугольным. Его катеты — это $AO$ и $OD$. Мы уже знаем, что $AO = 6$. Длина катета $OD$ равна длине отрезка $BO$, так как $O$ — середина $BD$, поэтому $OD = BO = 8$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle AOD$:

$AD^2 = AO^2 + OD^2$

Подставим известные значения длин катетов:

$AD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

Отсюда находим длину стороны $AD$:

$AD = \sqrt{100} = 10$

Таким образом, длина вектора $\vec{AO} + \vec{BO}$ равна 10.

Ответ: 10