Номер 6, страница 151 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Две стороны прямоугольника $ABCD$ равны 6 и 8. Найдите ска-
лярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Для решения этой задачи используется определение скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $,где $ |\vec{a}| $ и $ |\vec{b}| $ — это длины (модули) данных векторов, а $ \alpha $ — угол между ними.

В нашем случае даны векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{AD} $. Эти векторы соответствуют смежным сторонам прямоугольника $ABCD$. Их длины равны длинам сторон прямоугольника, то есть 6 и 8. Пусть длина стороны $AB$ равна 6, а длина стороны $AD$ равна 8. Тогда модули векторов будут:$ |\vec{AB}| = 6 $$ |\vec{AD}| = 8 $

Поскольку фигура $ABCD$ является прямоугольником, все его углы прямые. Угол между смежными сторонами $AB$ и $AD$ составляет $90^\circ$. Это означает, что угол $ \alpha $ между векторами $ \vec{AB} $ и $ \vec{AD} $, которые выходят из одной вершины $A$, равен $90^\circ$.

Теперь подставим все известные значения в формулу скалярного произведения:$ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\alpha) = 6 \cdot 8 \cdot \cos(90^\circ) $.

Из тригонометрии известно, что косинус прямого угла равен нулю: $ \cos(90^\circ) = 0 $.Следовательно, вычисление даёт следующий результат:$ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 6 \cdot 8 \cdot 0 = 0 $.

Таким образом, скалярное произведение векторов, соответствующих смежным сторонам прямоугольника, равно нулю, так как эти векторы перпендикулярны (ортогональны) друг другу.

Ответ: 0