Номер 4, страница 151 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Стороны AB и AD прямоугольника ABCD равны соответственно 6 и 8. Найдите длину суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. По условию, длины его сторон равны $|\overline{AB}| = 6$ и $|\overline{AD}| = 8$. Нам необходимо найти длину суммы векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$, то есть величину $|\overline{AB} + \overline{AC}|$.

Для решения задачи воспользуемся правилами действий с векторами. Вектор диагонали $\overline{AC}$ в прямоугольнике $ABCD$ можно представить как сумму векторов двух смежных сторон, выходящих из той же вершины:

$\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{AD}$

Теперь подставим это выражение в сумму векторов, которую нам нужно найти:

$\overline{AB} + \overline{AC} = \overline{AB} + (\overline{AB} + \overline{AD}) = 2\overline{AB} + \overline{AD}$

Обозначим результирующий вектор как $\overline{S} = 2\overline{AB} + \overline{AD}$. Нам нужно найти его длину $|\overline{S}|$.

Так как $ABCD$ является прямоугольником, его смежные стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны. Это означает, что векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$ ортогональны (угол между ними равен $90^\circ$). Вектор $2\overline{AB}$ сонаправлен с вектором $\overline{AB}$, поэтому он также перпендикулярен вектору $\overline{AD}$.

Длину суммы двух перпендикулярных векторов можно найти по теореме Пифагора. В нашем случае, квадрат длины вектора $\overline{S}$ будет равен сумме квадратов длин векторов $2\overline{AB}$ и $\overline{AD}$:

$|\overline{S}|^2 = |2\overline{AB}|^2 + |\overline{AD}|^2$

Вычислим длины этих векторов:

$|2\overline{AB}| = 2 \cdot |\overline{AB}| = 2 \cdot 6 = 12$

$|\overline{AD}| = 8$ (дано по условию).

Теперь подставим найденные значения в формулу:

$|\overline{S}|^2 = 12^2 + 8^2 = 144 + 64 = 208$

Чтобы найти длину вектора $\overline{S}$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$|\overline{S}| = \sqrt{208}$

Для упрощения ответа разложим число 208 на множители:

$208 = 16 \cdot 13$

Следовательно, длина вектора равна:

$|\overline{S}| = \sqrt{16 \cdot 13} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{13} = 4\sqrt{13}$

Ответ: $4\sqrt{13}$