Номер 19, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Для каких градусных величин котангенс принимает значения:

а) больше нуля;

б) равные нулю;

в) меньше нуля?

а) больше нуля
Значение котангенса угла $\alpha$ определяется по формуле $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Котангенс будет положительным, когда синус и косинус этого угла имеют одинаковые знаки.
Рассмотрим знаки тригонометрических функций по координатным четвертям:
1. I четверть ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$): $\cos(\alpha) > 0$ и $\sin(\alpha) > 0$. Следовательно, $\cot(\alpha) > 0$.
2. III четверть ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$): $\cos(\alpha) < 0$ и $\sin(\alpha) < 0$. Следовательно, $\cot(\alpha) = \frac{-}{-} > 0$.
Функция котангенса периодична с периодом $180^\circ$. Мы можем обобщить эти два интервала, добавив к границам $180^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число. Таким образом, котангенс больше нуля для всех углов $\alpha$, которые принадлежат интервалам $(180^\circ \cdot k; 90^\circ + 180^\circ \cdot k)$.
Ответ: $\alpha$ принадлежит интервалам $180^\circ \cdot k < \alpha < 90^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) равные нулю
Котангенс равен нулю, когда его числитель ($\cos(\alpha)$) равен нулю, а знаменатель ($\sin(\alpha)$) не равен нулю.
Условие $\cos(\alpha) = 0$ выполняется, когда угол $\alpha$ равен $90^\circ$, $270^\circ$ и т.д.
Проверим знаменатель для этих углов:
- При $\alpha = 90^\circ$, $\sin(90^\circ) = 1 \neq 0$.
- При $\alpha = 270^\circ$, $\sin(270^\circ) = -1 \neq 0$.
Эти значения повторяются с периодом $180^\circ$. Общая формула для таких углов: $\alpha = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $\alpha = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) меньше нуля
Котангенс будет отрицательным, когда синус и косинус этого угла имеют разные знаки.
Рассмотрим знаки по координатным четвертям:
1. II четверть ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$): $\cos(\alpha) < 0$ и $\sin(\alpha) > 0$. Следовательно, $\cot(\alpha) < 0$.
2. IV четверть ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$): $\cos(\alpha) > 0$ и $\sin(\alpha) < 0$. Следовательно, $\cot(\alpha) < 0$.
Снова, используя периодичность котангенса ($180^\circ$), мы можем обобщить эти интервалы. Таким образом, котангенс меньше нуля для всех углов $\alpha$, которые принадлежат интервалам $(90^\circ + 180^\circ \cdot k; 180^\circ + 180^\circ \cdot k)$.
Ответ: $\alpha$ принадлежит интервалам $90^\circ + 180^\circ \cdot k < \alpha < 180^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.