Номер 15, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Могут ли тангенс и котангенс принимать значения:
а) больше 1;
б) меньше -1?

Для ответа на этот вопрос, вспомним определения тангенса и котангенса, а также их области значений. Тангенс угла $\alpha$ определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

В отличие от синуса и косинуса, значения которых ограничены отрезком $[-1, 1]$, тангенс и котангенс могут принимать любые действительные значения. Это связано с тем, что в их определении знаменатель (косинус для тангенса и синус для котангенса) может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю, что приводит к неограниченному росту или убыванию значения дроби. Таким образом, область значений и для тангенса, и для котангенса — это множество всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$.

Рассмотрим каждый подпункт отдельно.

а) больше 1

Да, и тангенс, и котангенс могут принимать значения, большие 1.

Для тангенса: чтобы $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ было больше 1, необходимо, чтобы при положительных $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ (в I четверти) значение синуса было больше значения косинуса. Это верно для углов в интервале $45^\circ < \alpha < 90^\circ$. Например, для угла $\alpha = 60^\circ$:
$\tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732$, что больше 1.

Для котангенса: чтобы $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ было больше 1, необходимо, чтобы при положительных $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ (в I четверти) значение косинуса было больше значения синуса. Это верно для углов в интервале $0^\circ < \alpha < 45^\circ$. Например, для угла $\alpha = 30^\circ$:
$\cot(30^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732$, что больше 1.

Ответ: Да, могут.

б) меньше -1

Да, и тангенс, и котангенс могут принимать значения, меньшие -1.

Для тангенса: значения тангенса отрицательны во II и IV четвертях. Возьмем угол во II четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), где $\sin(\alpha) > 0$ и $\cos(\alpha) < 0$. Чтобы $\tan(\alpha) < -1$, необходимо, чтобы $|\sin(\alpha)| > |\cos(\alpha)|$. Это верно для углов в интервале $90^\circ < \alpha < 135^\circ$. Например, для угла $\alpha = 120^\circ$:
$\tan(120^\circ) = -\sqrt{3} \approx -1.732$, что меньше -1.

Для котангенса: значения котангенса также отрицательны во II и IV четвертях. Возьмем угол во II четверти. Чтобы $\cot(\alpha) < -1$, необходимо, чтобы $|\cos(\alpha)| > |\sin(\alpha)|$. Это верно для углов в интервале $135^\circ < \alpha < 180^\circ$. Например, для угла $\alpha = 150^\circ$:
$\cot(150^\circ) = -\sqrt{3} \approx -1.732$, что меньше -1.

Ответ: Да, могут.