Страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Найдите:

a) $ \cos 0^\circ $;

б) $ \cos \frac{\pi}{6} $;

в) $ \cos \frac{\pi}{4} $;

г) $ \cos \frac{\pi}{3} $;

д) $ \cos \frac{\pi}{2} $;

е) $ \cos \frac{2\pi}{3} $;

ж) $ \cos \frac{3\pi}{4} $;

з) $ \cos \frac{5\pi}{6} $;

и) $ \cos \pi $.

а) Значение косинуса угла $0^\circ$ является табличным значением. На единичной окружности угол $0^\circ$ соответствует точке с координатами $(1, 0)$. Косинус угла определяется как абсцисса (координата x) этой точки. Следовательно, $\cos 0^\circ = 1$.
Ответ: $1$.

б) Значение косинуса угла $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$) является табличным значением. Это одно из основных значений тригонометрических функций. $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Значение косинуса угла $\frac{\pi}{4}$ (что соответствует $45^\circ$) является табличным значением. $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Значение косинуса угла $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует $60^\circ$) является табличным значением. $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

д) Значение косинуса угла $\frac{\pi}{2}$ (что соответствует $90^\circ$) является табличным значением. На единичной окружности угол $\frac{\pi}{2}$ соответствует точке с координатами $(0, 1)$. Косинус угла - это абсцисса этой точки. Следовательно, $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.
Ответ: $0$.

е) Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi $), где значения косинуса отрицательны. Для нахождения значения можно использовать формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Представим угол $\frac{2\pi}{3}$ в виде разности: $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$.
Применяя формулу, получаем: $\cos \frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3}$.
Так как $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, то $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

ж) Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi $), где косинус отрицателен. Используем ту же формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Представим угол $\frac{3\pi}{4}$ в виде разности: $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$.
Применяя формулу, получаем: $\cos \frac{3\pi}{4} = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4}$.
Так как $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

з) Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi $), где косинус отрицателен. Снова используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Представим угол $\frac{5\pi}{6}$ в виде разности: $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$.
Применяя формулу, получаем: $\cos \frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6}$.
Так как $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

и) Значение косинуса угла $\pi$ (что соответствует $180^\circ$) является табличным значением. На единичной окружности угол $\pi$ соответствует точке с координатами $(-1, 0)$. Косинус угла - это абсцисса этой точки. Следовательно, $\cos \pi = -1$.
Ответ: $-1$.

9. Найдите:

а) $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$;

в) $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$;

г) $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$;

д) $\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)$;

е) $\sin\left(-2\pi\right)$;

ж) $\sin\left(-\frac{7\pi}{3}\right)$.

а) Для нахождения значения $\sin(-\frac{\pi}{6})$ воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ (30°) является табличным: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4})$.
Табличное значение синуса для угла $\frac{\pi}{4}$ (45°) равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ (60°) равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{2}$ (90°) равно $1$.
Таким образом, $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Ответ: $-1$.

д) Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\sin(\frac{5\pi}{6})$.
Для вычисления $\sin(\frac{5\pi}{6})$ воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.
$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6})$.
Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

е) Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-2\pi) = -\sin(2\pi)$.
Функция синус имеет период $2\pi$, поэтому $\sin(2\pi) = \sin(0) = 0$.
Таким образом, $\sin(-2\pi) = -0 = 0$.
Альтернативно, можно сразу воспользоваться периодичностью: $\sin(-2\pi) = \sin(-2\pi + 2\pi) = \sin(0) = 0$.
Ответ: $0$.

ж) Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\frac{7\pi}{3}) = -\sin(\frac{7\pi}{3})$.
Угол $\frac{7\pi}{3}$ можно представить в виде $\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.
Используя периодичность синуса ($\sin(\alpha+2\pi k) = \sin(\alpha)$ для целых $k$), получаем:
$\sin(\frac{7\pi}{3}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\sin(-\frac{7\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

10. На единичной окружности с центром в начале координат изобразите точку, полученную поворотом точки $A_0(1; 0)$ на угол:

а) $3\pi$;

б) $\frac{5\pi}{2}$;

в) $-\frac{3\pi}{4}$;

г) $-\frac{7\pi}{3}$.

Для решения задачи будем использовать единичную окружность с центром в начале координат. Начальная точка $A_0$ имеет координаты $(1; 0)$. Поворот точки на угол $\alpha$ означает, что новая точка $A$ будет иметь координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Положительный угол соответствует повороту против часовой стрелки, а отрицательный – по часовой стрелке.

а) $3\pi$;

Требуется повернуть точку $A_0(1; 0)$ на угол $\alpha = 3\pi$. Угол $3\pi$ можно представить как $3\pi = 2\pi + \pi$. Поворот на $2\pi$ представляет собой полный оборот, после которого точка возвращается в исходное положение. Следовательно, поворот на $3\pi$ эквивалентен повороту на $\pi$. Поворот на угол $\pi$ (180°) перемещает точку в диаметрально противоположное положение. Найдем координаты новой точки $A_1$:
$x = \cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$
$y = \sin(3\pi) = \sin(\pi) = 0$
Таким образом, точка, полученная поворотом на угол $3\pi$, находится в точке пересечения единичной окружности с отрицательной полуосью Ox.

Ответ: Точка имеет координаты $(-1; 0)$.

б) $\frac{5\pi}{2}$;

Требуется повернуть точку $A_0(1; 0)$ на угол $\alpha = \frac{5\pi}{2}$. Представим угол в виде $\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Поворот на $2\pi$ — это полный оборот, поэтому итоговое положение точки определяется поворотом на угол $\frac{\pi}{2}$. Поворот на угол $\frac{\pi}{2}$ (90°) против часовой стрелки перемещает точку $A_0(1; 0)$ на положительную полуось Oy. Найдем координаты новой точки $A_2$:
$x = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
Таким образом, точка, полученная поворотом, находится в точке пересечения единичной окружности с положительной полуосью Oy.

Ответ: Точка имеет координаты $(0; 1)$.

в) $-\frac{3\pi}{4}$;

Требуется повернуть точку $A_0(1; 0)$ на угол $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$. Отрицательный знак угла означает, что поворот выполняется по часовой стрелке. Угол $\frac{3\pi}{4}$ равен 135°. Точка будет расположена в III координатной четверти. Найдем координаты новой точки $A_3$:
$x = \cos(-\frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Эта точка лежит на биссектрисе третьего координатного угла.

Ответ: Точка имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

г) $-\frac{7\pi}{3}$.

Требуется повернуть точку $A_0(1; 0)$ на угол $\alpha = -\frac{7\pi}{3}$. Поворот выполняется по часовой стрелке. Представим угол в виде $-\frac{7\pi}{3} = -\frac{6\pi + \pi}{3} = -2\pi - \frac{\pi}{3}$. Поворот на $-2\pi$ — это полный оборот по часовой стрелке, который возвращает точку в исходное положение. Значит, поворот эквивалентен повороту на угол $-\frac{\pi}{3}$. Поворот на угол $-\frac{\pi}{3}$ (-60°) по часовой стрелке перемещает точку в IV координатную четверть. Найдем координаты новой точки $A_4$:
$x = \cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(-\frac{7\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Точка расположена в четвертой четверти.

Ответ: Точка имеет координаты $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

11. За сколько времени минутная стрелка повернется на:

а) $300^{\circ}$;

б) $420^{\circ}$;

в) $540^{\circ}$?

Для решения этой задачи необходимо определить скорость вращения минутной стрелки. Минутная стрелка совершает полный оборот, равный $360^\circ$, за 60 минут. Следовательно, ее угловая скорость составляет:

$v = \frac{360^\circ}{60 \text{ мин}} = 6^\circ/\text{мин}$

Это означает, что за каждую минуту минутная стрелка поворачивается на $6^\circ$.

Чтобы найти время $t$, необходимое для поворота на определенный угол $\alpha$, нужно разделить этот угол на угловую скорость:

$t = \frac{\alpha}{v} = \frac{\alpha}{6}$

а) 300°

Подставим значение угла $\alpha = 300^\circ$ в формулу:

$t = \frac{300^\circ}{6^\circ/\text{мин}} = 50 \text{ минут}$

Ответ: за 50 минут.

б) 420°

Подставим значение угла $\alpha = 420^\circ$ в формулу:

$t = \frac{420^\circ}{6^\circ/\text{мин}} = 70 \text{ минут}$

70 минут также можно представить как 1 час и 10 минут.

Ответ: за 70 минут (или 1 час 10 минут).

в) 540°

Подставим значение угла $\alpha = 540^\circ$ в формулу:

$t = \frac{540^\circ}{6^\circ/\text{мин}} = 90 \text{ минут}$

90 минут также можно представить как 1 час и 30 минут.

Ответ: за 90 минут (или 1 час 30 минут).

12. Могут ли синус и косинус принимать значения:

а) больше $1$;

б) меньше $-1$?

Значения синуса и косинуса любого действительного угла $\alpha$ всегда находятся в диапазоне от -1 до 1. Это напрямую следует из определения этих функций через единичную окружность, а также из основного тригонометрического тождества: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

а) больше 1;
Предположим, что для некоторого угла $\alpha$ значение $\sin(\alpha) > 1$. Тогда $\sin^2(\alpha)$ будет больше $1^2$, то есть $\sin^2(\alpha) > 1$. Подставим это в основное тригонометрическое тождество: $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$. Если $\sin^2(\alpha) > 1$, то разность $1 - \sin^2(\alpha)$ будет отрицательной. Это означает, что $\cos^2(\alpha) < 0$. Однако квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Аналогичные рассуждения применимы и к косинусу. Если предположить, что $\cos(\alpha) > 1$, то $\cos^2(\alpha) > 1$, и тогда $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) < 0$, что также невозможно.
Ответ: нет, синус и косинус не могут принимать значения больше 1.

б) меньше -1?
Предположим, что для некоторого угла $\alpha$ значение $\sin(\alpha) < -1$. При возведении в квадрат отрицательного числа, которое по модулю больше 1, мы получим число, которое больше 1. То есть, из $\sin(\alpha) < -1$ следует, что $\sin^2(\alpha) > 1$. Как и в предыдущем пункте, это приводит к противоречию, поскольку $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$ станет отрицательным. То же самое верно и для косинуса: если $\cos(\alpha) < -1$, то $\cos^2(\alpha) > 1$, что делает $\sin^2(\alpha)$ отрицательным, а это невозможно.
Ответ: нет, синус и косинус не могут принимать значения меньше -1.

13. Укажите, для каких градусных величин синус принимает:

а) положительные значения;

б) значения, равные нулю;

в) отрицательные значения.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определением синуса через единичную окружность. В декартовой системе координат синус угла $\alpha$ — это ордината (координата $y$) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу. Угол отсчитывается от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки.

а) положительные значения

Синус принимает положительные значения ($\sin(\alpha) > 0$), когда ордината точки на единичной окружности положительна. Это происходит в I и II координатных четвертях.
I четверть соответствует углам от $0^\circ$ до $90^\circ$.
II четверть соответствует углам от $90^\circ$ до $180^\circ$.
Объединяя эти два интервала, получаем, что синус положителен для углов от $0^\circ$ до $180^\circ$.
Так как функция синуса периодична с периодом $360^\circ$, мы должны добавить к границам интервала $360^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($\mathbb{Z}$).

Ответ: $360^\circ \cdot k < \alpha < 180^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) значения, равные нулю

Синус равен нулю ($\sin(\alpha) = 0$), когда ордината точки на единичной окружности равна нулю. Это происходит, когда точка лежит на оси абсцисс ($Ox$).
Такие точки соответствуют углам $0^\circ$ и $180^\circ$.
Чтобы учесть все возможные углы, мы должны учесть периодичность. Все углы, при которых синус равен нулю, можно описать одной формулой, так как они повторяются каждые $180^\circ$.

Ответ: $\alpha = 180^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) отрицательные значения

Синус принимает отрицательные значения ($\sin(\alpha) < 0$), когда ордината точки на единичной окружности отрицательна. Это происходит в III и IV координатных четвертях.
III четверть соответствует углам от $180^\circ$ до $270^\circ$.
IV четверть соответствует углам от $270^\circ$ до $360^\circ$.
Объединяя эти два интервала, получаем, что синус отрицателен для углов от $180^\circ$ до $360^\circ$.
С учетом периодичности функции ($360^\circ$) общее решение выглядит следующим образом.

Ответ: $180^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 360^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

14. Укажите, для каких градусных величин косинус принимает:

а) положительные значения;

б) значения, равные нулю;

в) отрицательные значения.

Для определения, для каких градусных величин косинус принимает те или иные значения, воспользуемся тригонометрической (единичной) окружностью. В ней косинус угла $\alpha$, отложенного от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, равен абсциссе (координате x) точки, в которую переходит начальная точка (1, 0) при повороте на угол $\alpha$.

Полный оборот по окружности составляет $360^\circ$. Знаки косинуса определяются знаком координаты x в соответствующей координатной четверти.

а) положительные значения;

Косинус угла $\alpha$ принимает положительные значения, то есть $\cos(\alpha) > 0$, когда абсцисса точки на единичной окружности положительна. Это происходит в I и IV координатных четвертях.

I четверть соответствует углам от $0^\circ$ до $90^\circ$.

IV четверть соответствует углам от $270^\circ$ до $360^\circ$. Этот интервал также можно представить как от $-90^\circ$ до $0^\circ$.

Объединяя эти интервалы, получаем, что косинус положителен для углов $\alpha$ в интервале от $-90^\circ$ до $90^\circ$.

Функция косинуса является периодической с периодом $360^\circ$. Поэтому, чтобы описать все такие углы, нужно к границам интервала добавить слагаемое $360^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, $\cos(\alpha) > 0$ при $-90^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 90^\circ + 360^\circ \cdot k$.

Ответ: $-90^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 90^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) значения, равные нулю;

Косинус угла $\alpha$ равен нулю, то есть $\cos(\alpha) = 0$, когда абсцисса точки на единичной окружности равна нулю. Это происходит, когда точка лежит на оси ординат (ось Oy).

Таким точкам на окружности соответствуют углы $90^\circ$ (верхняя точка) и $270^\circ$ (нижняя точка).

Эти значения повторяются через каждые $180^\circ$. Например, начав с $90^\circ$, мы получаем $270^\circ$ ($90^\circ + 180^\circ$), затем $450^\circ$ ($90^\circ + 2 \cdot 180^\circ$), и так далее. Все эти углы можно описать одной формулой.

Следовательно, общее решение уравнения $\cos(\alpha) = 0$ имеет вид $\alpha = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $\alpha = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) отрицательные значения.

Косинус угла $\alpha$ принимает отрицательные значения, то есть $\cos(\alpha) < 0$, когда абсцисса точки на единичной окружности отрицательна. Это происходит во II и III координатных четвертях.

II четверть соответствует углам от $90^\circ$ до $180^\circ$.

III четверть соответствует углам от $180^\circ$ до $270^\circ$.

Объединив эти интервалы, мы получим, что косинус отрицателен для углов $\alpha$, находящихся в интервале от $90^\circ$ до $270^\circ$.

Учитывая периодичность функции косинуса ($360^\circ$), мы должны добавить к границам этого интервала $360^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, $\cos(\alpha) < 0$ при $90^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 270^\circ + 360^\circ \cdot k$.

Ответ: $90^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 270^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

15. Могут ли тангенс и котангенс принимать значения:
а) больше 1;
б) меньше -1?

Для ответа на этот вопрос, вспомним определения тангенса и котангенса, а также их области значений. Тангенс угла $\alpha$ определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

В отличие от синуса и косинуса, значения которых ограничены отрезком $[-1, 1]$, тангенс и котангенс могут принимать любые действительные значения. Это связано с тем, что в их определении знаменатель (косинус для тангенса и синус для котангенса) может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю, что приводит к неограниченному росту или убыванию значения дроби. Таким образом, область значений и для тангенса, и для котангенса — это множество всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$.

Рассмотрим каждый подпункт отдельно.

а) больше 1

Да, и тангенс, и котангенс могут принимать значения, большие 1.

Для тангенса: чтобы $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ было больше 1, необходимо, чтобы при положительных $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ (в I четверти) значение синуса было больше значения косинуса. Это верно для углов в интервале $45^\circ < \alpha < 90^\circ$. Например, для угла $\alpha = 60^\circ$:
$\tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732$, что больше 1.

Для котангенса: чтобы $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ было больше 1, необходимо, чтобы при положительных $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ (в I четверти) значение косинуса было больше значения синуса. Это верно для углов в интервале $0^\circ < \alpha < 45^\circ$. Например, для угла $\alpha = 30^\circ$:
$\cot(30^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732$, что больше 1.

Ответ: Да, могут.

б) меньше -1

Да, и тангенс, и котангенс могут принимать значения, меньшие -1.

Для тангенса: значения тангенса отрицательны во II и IV четвертях. Возьмем угол во II четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), где $\sin(\alpha) > 0$ и $\cos(\alpha) < 0$. Чтобы $\tan(\alpha) < -1$, необходимо, чтобы $|\sin(\alpha)| > |\cos(\alpha)|$. Это верно для углов в интервале $90^\circ < \alpha < 135^\circ$. Например, для угла $\alpha = 120^\circ$:
$\tan(120^\circ) = -\sqrt{3} \approx -1.732$, что меньше -1.

Для котангенса: значения котангенса также отрицательны во II и IV четвертях. Возьмем угол во II четверти. Чтобы $\cot(\alpha) < -1$, необходимо, чтобы $|\cos(\alpha)| > |\sin(\alpha)|$. Это верно для углов в интервале $135^\circ < \alpha < 180^\circ$. Например, для угла $\alpha = 150^\circ$:
$\cot(150^\circ) = -\sqrt{3} \approx -1.732$, что меньше -1.

Ответ: Да, могут.

16. Найдите:
а) $\tan(-30^\circ)$;
б) $\tan(-150^\circ)$;
в) $\cot(420^\circ)$;
г) $\cot(-135^\circ)$.

а) Для нахождения значения $tg(-30°)$ воспользуемся свойством нечетности функции тангенса, которое гласит, что $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$.
Применяя это свойство, получаем:
$tg(-30°) = -tg(30°)$.
Значение $tg(30°)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $tg(-30°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Для нахождения значения $tg(-150°)$ воспользуемся свойством периодичности функции тангенса. Период тангенса равен $180°$, то есть $tg(\alpha + 180° \cdot k) = tg(\alpha)$ для любого целого $k$.
Прибавим к аргументу период $180°$ (т.е. $k=1$):
$tg(-150°) = tg(-150° + 180°) = tg(30°)$.
Значение $tg(30°)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Альтернативный способ:
Используем свойство нечетности: $tg(-150°) = -tg(150°)$.
Далее, по формуле приведения $tg(180° - \alpha) = -tg(\alpha)$:
$tg(150°) = tg(180° - 30°) = -tg(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Тогда $tg(-150°) = -(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Для нахождения значения $ctg(420°)$ воспользуемся свойством периодичности функции котангенса. Период котангенса равен $180°$, поэтому $ctg(\alpha + 180° \cdot k) = ctg(\alpha)$ для любого целого $k$.
Представим угол $420°$ в виде $k \cdot 180° + \alpha$.
$420° = 2 \cdot 180° + 60° = 360° + 60°$.
Следовательно, $ctg(420°) = ctg(360° + 60°) = ctg(60°)$.
Значение $ctg(60°)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) Для нахождения значения $ctg(-135°)$ воспользуемся свойством периодичности функции котангенса. Период котангенса равен $180°$.
Прибавим к аргументу период $180°$ (т.е. $k=1$):
$ctg(-135°) = ctg(-135° + 180°) = ctg(45°)$.
Значение $ctg(45°)$ является табличным и равно $1$.
Альтернативный способ:
Используем свойство нечетности: $ctg(-135°) = -ctg(135°)$.
Далее, по формуле приведения $ctg(180° - \alpha) = -ctg(\alpha)$:
$ctg(135°) = ctg(180° - 45°) = -ctg(45°) = -1$.
Тогда $ctg(-135°) = -(-1) = 1$.
Ответ: $1$.

17. Найдите:

а) $tg(\frac{7\pi}{4})$;

б) $tg(-\frac{\pi}{6})$;

в) $ctg(\frac{5\pi}{3})$;

г) $ctg(-\frac{3\pi}{4})$.

а) Чтобы найти значение $ \tg(\frac{7\pi}{4}) $, представим угол $ \frac{7\pi}{4} $ в виде разности $ 2\pi - \frac{\pi}{4} $ и воспользуемся формулой приведения $ \tg(2\pi - \alpha) = -\tg(\alpha) $.

$ \tg(\frac{7\pi}{4}) = \tg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tg(\frac{\pi}{4}) $.

Мы знаем табличное значение $ \tg(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Следовательно, $ \tg(\frac{7\pi}{4}) = -1 $.

Ответ: -1

б) Тангенс является нечетной функцией, поэтому для любого угла $ \alpha $ справедливо равенство $ \tg(-\alpha) = -\tg(\alpha) $.

Применив это свойство, получаем: $ \tg(-\frac{\pi}{6}) = -\tg(\frac{\pi}{6}) $.

Табличное значение $ \tg(\frac{\pi}{6}) $ равно $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Таким образом, $ \tg(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) Для нахождения $ \ctg(\frac{5\pi}{3}) $ представим угол $ \frac{5\pi}{3} $ в виде $ 2\pi - \frac{\pi}{3} $ и используем формулу приведения $ \ctg(2\pi - \alpha) = -\ctg(\alpha) $.

$ \ctg(\frac{5\pi}{3}) = \ctg(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\ctg(\frac{\pi}{3}) $.

Табличное значение $ \ctg(\frac{\pi}{3}) $ равно $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Следовательно, $ \ctg(\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

г) Котангенс также является нечетной функцией, поэтому $ \ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha) $.

Применяя это свойство, получаем: $ \ctg(-\frac{3\pi}{4}) = -\ctg(\frac{3\pi}{4}) $.

Далее, для $ \ctg(\frac{3\pi}{4}) $ используем формулу приведения, представив угол как $ \pi - \frac{\pi}{4} $. Формула: $ \ctg(\pi - \alpha) = -\ctg(\alpha) $.

$ \ctg(\frac{3\pi}{4}) = \ctg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\ctg(\frac{\pi}{4}) $.

Так как $ \ctg(\frac{\pi}{4}) = 1 $, то $ \ctg(\frac{3\pi}{4}) = -1 $.

Подставляем это значение обратно в первое выражение: $ \ctg(-\frac{3\pi}{4}) = -(-1) = 1 $.

Ответ: 1

18. Для каких градусных величин тангенс принимает значения:

а) больше нуля;

б) равные нулю;

в) меньше нуля?

а) больше нуля;
Значение тангенса угла $α$, которое определяется по формуле $tan(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)}$, является положительным в том случае, когда синус ($sin(α)$) и косинус ($cos(α)$) этого угла имеют одинаковые знаки. Такое условие выполняется в двух координатных четвертях:
1. В I четверти, для углов $0° < α < 90°$, где и $sin(α) > 0$, и $cos(α) > 0$.
2. В III четверти, для углов $180° < α < 270°$, где и $sin(α) < 0$, и $cos(α) < 0$.
Функция тангенса имеет период $180°$, что позволяет объединить эти два интервала в одно общее выражение. Используя интервал для I четверти как базовый и добавляя к его границам величину $180°k$, где $k$ — любое целое число ($k ∈ ℤ$), мы получаем общую формулу для всех углов, тангенс которых больше нуля.
Следовательно, тангенс принимает положительные значения при $180°k < α < 90° + 180°k$.
Ответ: $180°k < α < 90° + 180°k, k ∈ ℤ$.

б) равные нулю;
Тангенс угла $α$ равен нулю, когда числитель в дроби $\frac{sin(α)}{cos(α)}$ равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То есть, $tan(α) = 0$ при выполнении двух условий: $sin(α) = 0$ и $cos(α) \neq 0$.
Условие $sin(α) = 0$ справедливо для углов, конечная сторона которых совпадает с положительным или отрицательным направлением оси Ox. Это углы $0°, 180°, 360°, 540°$ и так далее.
В общем виде это записывается формулой $α = 180°k$, где $k$ — любое целое число ($k ∈ ℤ$).
Для этих углов значение косинуса $cos(180°k)$ равно $1$ (при четных $k$) или $-1$ (при нечетных $k$). В обоих случаях $cos(α) \neq 0$, поэтому условие для знаменателя выполняется.
Таким образом, тангенс равен нулю при $α = 180°k$.
Ответ: $α = 180°k, k ∈ ℤ$.

в) меньше нуля?
Тангенс угла $α$ принимает отрицательные значения, когда его синус ($sin(α)$) и косинус ($cos(α)$) имеют противоположные знаки.
Это происходит в следующих случаях:
1. Во II четверти, для углов $90° < α < 180°$, где $sin(α) > 0$, а $cos(α) < 0$.
2. В IV четверти, для углов $270° < α < 360°$, где $sin(α) < 0$, а $cos(α) > 0$.
Заметим, что при углах $90°$ и $270°$ (и в общем виде $90° + 180°k$) тангенс не определен, так как косинус обращается в ноль.
С учетом периодичности тангенса ($180°$), мы можем обобщить эти два интервала в единую формулу. Возьмем интервал II четверти: $90° < α < 180°$. Добавив к границам $180°k$ (где $k ∈ ℤ$), получим общее решение, которое описывает все необходимые углы. Например, при $k=1$ получаем интервал $90° + 180° < α < 180° + 180°$, что соответствует $270° < α < 360°$ (IV четверть).
Следовательно, тангенс отрицателен при $90° + 180°k < α < 180° + 180°k$.
Ответ: $90° + 180°k < α < 180° + 180°k, k ∈ ℤ$.

19. Для каких градусных величин котангенс принимает значения:

а) больше нуля;

б) равные нулю;

в) меньше нуля?

а) больше нуля
Значение котангенса угла $\alpha$ определяется по формуле $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Котангенс будет положительным, когда синус и косинус этого угла имеют одинаковые знаки.
Рассмотрим знаки тригонометрических функций по координатным четвертям:
1. I четверть ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$): $\cos(\alpha) > 0$ и $\sin(\alpha) > 0$. Следовательно, $\cot(\alpha) > 0$.
2. III четверть ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$): $\cos(\alpha) < 0$ и $\sin(\alpha) < 0$. Следовательно, $\cot(\alpha) = \frac{-}{-} > 0$.
Функция котангенса периодична с периодом $180^\circ$. Мы можем обобщить эти два интервала, добавив к границам $180^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число. Таким образом, котангенс больше нуля для всех углов $\alpha$, которые принадлежат интервалам $(180^\circ \cdot k; 90^\circ + 180^\circ \cdot k)$.
Ответ: $\alpha$ принадлежит интервалам $180^\circ \cdot k < \alpha < 90^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) равные нулю
Котангенс равен нулю, когда его числитель ($\cos(\alpha)$) равен нулю, а знаменатель ($\sin(\alpha)$) не равен нулю.
Условие $\cos(\alpha) = 0$ выполняется, когда угол $\alpha$ равен $90^\circ$, $270^\circ$ и т.д.
Проверим знаменатель для этих углов:
- При $\alpha = 90^\circ$, $\sin(90^\circ) = 1 \neq 0$.
- При $\alpha = 270^\circ$, $\sin(270^\circ) = -1 \neq 0$.
Эти значения повторяются с периодом $180^\circ$. Общая формула для таких углов: $\alpha = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: $\alpha = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) меньше нуля
Котангенс будет отрицательным, когда синус и косинус этого угла имеют разные знаки.
Рассмотрим знаки по координатным четвертям:
1. II четверть ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$): $\cos(\alpha) < 0$ и $\sin(\alpha) > 0$. Следовательно, $\cot(\alpha) < 0$.
2. IV четверть ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$): $\cos(\alpha) > 0$ и $\sin(\alpha) < 0$. Следовательно, $\cot(\alpha) < 0$.
Снова, используя периодичность котангенса ($180^\circ$), мы можем обобщить эти интервалы. Таким образом, котангенс меньше нуля для всех углов $\alpha$, которые принадлежат интервалам $(90^\circ + 180^\circ \cdot k; 180^\circ + 180^\circ \cdot k)$.
Ответ: $\alpha$ принадлежит интервалам $90^\circ + 180^\circ \cdot k < \alpha < 180^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

20. Докажите, что имеют место тождества:

$ \text{tg} (\Phi + 180^{\circ}) = \text{tg}\Phi, \quad \text{ctg}(\Phi + 180^{\circ}) = \text{ctg}\Phi, $

$ \text{tg}(-\Phi) = -\text{tg}\Phi, \quad \text{ctg}(-\Phi) = -\text{ctg}\Phi. $

tg (φ + 180°) = tgφ

Для доказательства этого тождества воспользуемся определением тангенса $tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ и формулами приведения. Согласно формулам приведения, которые показывают, как изменяются тригонометрические функции при добавлении к аргументу углов, кратных $90^{\circ}$ или $180^{\circ}$, мы имеем:

$ \sin(\phi + 180^{\circ}) = -\sin\phi $

$ \cos(\phi + 180^{\circ}) = -\cos\phi $

Теперь подставим эти выражения в определение тангенса для угла $(\phi + 180^{\circ})$:

$ tg(\phi + 180^{\circ}) = \frac{\sin(\phi + 180^{\circ})}{\cos(\phi + 180^{\circ})} = \frac{-\sin\phi}{-\cos\phi} = \frac{\sin\phi}{\cos\phi} = tg\phi $

Таким образом, тождество доказано, и это также показывает, что функция тангенса является периодической с периодом $180^{\circ}$ (или $\pi$ радиан).
Ответ: $tg(\phi + 180^{\circ}) = tg\phi$.

ctg(φ + 180°) = ctgφ

Доказательство этого тождества аналогично предыдущему. Используем определение котангенса $ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ и те же самые формулы приведения:

$ \cos(\phi + 180^{\circ}) = -\cos\phi $

$ \sin(\phi + 180^{\circ}) = -\sin\phi $

Подставляем полученные выражения в определение котангенса:

$ ctg(\phi + 180^{\circ}) = \frac{\cos(\phi + 180^{\circ})}{\sin(\phi + 180^{\circ})} = \frac{-\cos\phi}{-\sin\phi} = \frac{\cos\phi}{\sin\phi} = ctg\phi $

Тождество доказано. Это также подтверждает, что функция котангенса имеет период $180^{\circ}$.
Ответ: $ctg(\phi + 180^{\circ}) = ctg\phi$.

tg(-φ) = -tgφ

Это тождество доказывается на основе свойств четности и нечетности тригонометрических функций. Вспомним, что функция синус является нечетной, а функция косинус — четной:

$ \sin(-\phi) = -\sin\phi $ (нечетная функция)

$ \cos(-\phi) = \cos\phi $ (четная функция)

Используя определение тангенса, получаем:

$ tg(-\phi) = \frac{\sin(-\phi)}{\cos(-\phi)} = \frac{-\sin\phi}{\cos\phi} = -\frac{\sin\phi}{\cos\phi} = -tg\phi $

Это доказывает, что тангенс является нечетной функцией.
Ответ: $tg(-\phi) = -tg\phi$.

ctg(-φ) = -ctgφ

Аналогично предыдущему пункту, используем определение котангенса и свойства четности/нечетности синуса и косинуса.

Применяем те же свойства $ \sin(-\phi) = -\sin\phi $ и $ \cos(-\phi) = \cos\phi $ к определению котангенса:

$ ctg(-\phi) = \frac{\cos(-\phi)}{\sin(-\phi)} = \frac{\cos\phi}{-\sin\phi} = -\frac{\cos\phi}{\sin\phi} = -ctg\phi $

Таким образом, котангенс также является нечетной функцией.
Ответ: $ctg(-\phi) = -ctg\phi$.