Номер 14, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Укажите, для каких градусных величин косинус принимает:

а) положительные значения;

б) значения, равные нулю;

в) отрицательные значения.

Для определения, для каких градусных величин косинус принимает те или иные значения, воспользуемся тригонометрической (единичной) окружностью. В ней косинус угла $\alpha$, отложенного от положительного направления оси Ox против часовой стрелки, равен абсциссе (координате x) точки, в которую переходит начальная точка (1, 0) при повороте на угол $\alpha$.

Полный оборот по окружности составляет $360^\circ$. Знаки косинуса определяются знаком координаты x в соответствующей координатной четверти.

а) положительные значения;

Косинус угла $\alpha$ принимает положительные значения, то есть $\cos(\alpha) > 0$, когда абсцисса точки на единичной окружности положительна. Это происходит в I и IV координатных четвертях.

I четверть соответствует углам от $0^\circ$ до $90^\circ$.

IV четверть соответствует углам от $270^\circ$ до $360^\circ$. Этот интервал также можно представить как от $-90^\circ$ до $0^\circ$.

Объединяя эти интервалы, получаем, что косинус положителен для углов $\alpha$ в интервале от $-90^\circ$ до $90^\circ$.

Функция косинуса является периодической с периодом $360^\circ$. Поэтому, чтобы описать все такие углы, нужно к границам интервала добавить слагаемое $360^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, $\cos(\alpha) > 0$ при $-90^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 90^\circ + 360^\circ \cdot k$.

Ответ: $-90^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 90^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) значения, равные нулю;

Косинус угла $\alpha$ равен нулю, то есть $\cos(\alpha) = 0$, когда абсцисса точки на единичной окружности равна нулю. Это происходит, когда точка лежит на оси ординат (ось Oy).

Таким точкам на окружности соответствуют углы $90^\circ$ (верхняя точка) и $270^\circ$ (нижняя точка).

Эти значения повторяются через каждые $180^\circ$. Например, начав с $90^\circ$, мы получаем $270^\circ$ ($90^\circ + 180^\circ$), затем $450^\circ$ ($90^\circ + 2 \cdot 180^\circ$), и так далее. Все эти углы можно описать одной формулой.

Следовательно, общее решение уравнения $\cos(\alpha) = 0$ имеет вид $\alpha = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $\alpha = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) отрицательные значения.

Косинус угла $\alpha$ принимает отрицательные значения, то есть $\cos(\alpha) < 0$, когда абсцисса точки на единичной окружности отрицательна. Это происходит во II и III координатных четвертях.

II четверть соответствует углам от $90^\circ$ до $180^\circ$.

III четверть соответствует углам от $180^\circ$ до $270^\circ$.

Объединив эти интервалы, мы получим, что косинус отрицателен для углов $\alpha$, находящихся в интервале от $90^\circ$ до $270^\circ$.

Учитывая периодичность функции косинуса ($360^\circ$), мы должны добавить к границам этого интервала $360^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, $\cos(\alpha) < 0$ при $90^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 270^\circ + 360^\circ \cdot k$.

Ответ: $90^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 270^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.