Номер 10, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. На единичной окружности с центром в начале координат изобразите точку, полученную поворотом точки $A_0(1; 0)$ на угол:

а) $3\pi$;

б) $\frac{5\pi}{2}$;

в) $-\frac{3\pi}{4}$;

г) $-\frac{7\pi}{3}$.

Для решения задачи будем использовать единичную окружность с центром в начале координат. Начальная точка $A_0$ имеет координаты $(1; 0)$. Поворот точки на угол $\alpha$ означает, что новая точка $A$ будет иметь координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Положительный угол соответствует повороту против часовой стрелки, а отрицательный – по часовой стрелке.

а) $3\pi$;

Требуется повернуть точку $A_0(1; 0)$ на угол $\alpha = 3\pi$. Угол $3\pi$ можно представить как $3\pi = 2\pi + \pi$. Поворот на $2\pi$ представляет собой полный оборот, после которого точка возвращается в исходное положение. Следовательно, поворот на $3\pi$ эквивалентен повороту на $\pi$. Поворот на угол $\pi$ (180°) перемещает точку в диаметрально противоположное положение. Найдем координаты новой точки $A_1$:
$x = \cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$
$y = \sin(3\pi) = \sin(\pi) = 0$
Таким образом, точка, полученная поворотом на угол $3\pi$, находится в точке пересечения единичной окружности с отрицательной полуосью Ox.

Ответ: Точка имеет координаты $(-1; 0)$.

б) $\frac{5\pi}{2}$;

Требуется повернуть точку $A_0(1; 0)$ на угол $\alpha = \frac{5\pi}{2}$. Представим угол в виде $\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$. Поворот на $2\pi$ — это полный оборот, поэтому итоговое положение точки определяется поворотом на угол $\frac{\pi}{2}$. Поворот на угол $\frac{\pi}{2}$ (90°) против часовой стрелки перемещает точку $A_0(1; 0)$ на положительную полуось Oy. Найдем координаты новой точки $A_2$:
$x = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
$y = \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
Таким образом, точка, полученная поворотом, находится в точке пересечения единичной окружности с положительной полуосью Oy.

Ответ: Точка имеет координаты $(0; 1)$.

в) $-\frac{3\pi}{4}$;

Требуется повернуть точку $A_0(1; 0)$ на угол $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$. Отрицательный знак угла означает, что поворот выполняется по часовой стрелке. Угол $\frac{3\pi}{4}$ равен 135°. Точка будет расположена в III координатной четверти. Найдем координаты новой точки $A_3$:
$x = \cos(-\frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Эта точка лежит на биссектрисе третьего координатного угла.

Ответ: Точка имеет координаты $(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

г) $-\frac{7\pi}{3}$.

Требуется повернуть точку $A_0(1; 0)$ на угол $\alpha = -\frac{7\pi}{3}$. Поворот выполняется по часовой стрелке. Представим угол в виде $-\frac{7\pi}{3} = -\frac{6\pi + \pi}{3} = -2\pi - \frac{\pi}{3}$. Поворот на $-2\pi$ — это полный оборот по часовой стрелке, который возвращает точку в исходное положение. Значит, поворот эквивалентен повороту на угол $-\frac{\pi}{3}$. Поворот на угол $-\frac{\pi}{3}$ (-60°) по часовой стрелке перемещает точку в IV координатную четверть. Найдем координаты новой точки $A_4$:
$x = \cos(-\frac{7\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(-\frac{7\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Точка расположена в четвертой четверти.

Ответ: Точка имеет координаты $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.