Номер 4, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Точка А получена в результате поворота точки $A_0 (1; 0)$ на угол: а) $120^\circ$; б) $135^\circ$; в) $150^\circ$; г) $180^\circ$. Чему равны координаты точки А?

Для нахождения координат точки A, полученной в результате поворота точки $A_0(x_0; y_0)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат, используются формулы:

$x = x_0 \cos \alpha - y_0 \sin \alpha$

$y = x_0 \sin \alpha + y_0 \cos \alpha$

В нашем случае начальная точка $A_0$ имеет координаты $(1; 0)$. Подставив эти значения в формулы, получаем:

$x = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$

$y = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$

Таким образом, координаты точки A, полученной поворотом точки $A_0(1; 0)$ на угол $\alpha$, равны $(\cos \alpha; \sin \alpha)$. Рассчитаем координаты для каждого из заданных углов.

а) Для угла поворота $\alpha = 120°$ координаты точки A будут $(\cos(120°); \sin(120°))$.
Используя формулы приведения, находим значения синуса и косинуса:
$x = \cos(120°) = \cos(180° - 60°) = -\cos(60°) = -1/2$
$y = \sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $A(-1/2; \frac{\sqrt{3}}{2})$

б) Для угла поворота $\alpha = 135°$ координаты точки A будут $(\cos(135°); \sin(135°))$.
Используя формулы приведения, находим значения синуса и косинуса:
$x = \cos(135°) = \cos(180° - 45°) = -\cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(135°) = \sin(180° - 45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $A(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$

в) Для угла поворота $\alpha = 150°$ координаты точки A будут $(\cos(150°); \sin(150°))$.
Используя формулы приведения, находим значения синуса и косинуса:
$x = \cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = 1/2$
Ответ: $A(-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1/2)$

г) Для угла поворота $\alpha = 180°$ координаты точки A будут $(\cos(180°); \sin(180°))$.
Это табличные значения тригонометрических функций:
$x = \cos(180°) = -1$
$y = \sin(180°) = 0$
Ответ: $A(-1; 0)$