Номер 29, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

29. Повторите понятие тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника.

Тригонометрические функции острого угла определяются через соотношения сторон прямоугольного треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из углов прямой (равен $90^\circ$). Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Пусть $\alpha$ — один из острых углов этого треугольника. Катет, лежащий напротив угла $\alpha$, называется противолежащим катетом (для угла $\alpha$ это будет сторона $a$). Катет, являющийся одной из сторон угла $\alpha$, называется прилежащим катетом (для угла $\alpha$ это будет сторона $b$).

Синус (sin)
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.
$ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} $

Косинус (cos)
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.
$ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c} $

Тангенс (tg или tan)
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.
$ \text{tg}(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} $

Котангенс (ctg или cot)
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета.
$ \text{ctg}(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a} $

Из этих определений следуют важные соотношения, называемые основными тригонометрическими тождествами:
1. Основное тригонометрическое тождество, которое следует из теоремы Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$):
$ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1 $
2. Связь между тангенсом, синусом и косинусом:
$ \text{tg}(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $
3. Связь между котангенсом, синусом и косинусом:
$ \text{ctg}(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{b/c}{a/c} = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $
4. Связь между тангенсом и котангенсом:
$ \text{tg}(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha) = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1 $

Ответ:
Тригонометрические функции острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике — это безразмерные величины, определяемые как отношения длин его сторон:

• Синус: отношение противолежащего катета к гипотенузе ($ \sin(\alpha) = a/c $).
• Косинус: отношение прилежащего катета к гипотенузе ($ \cos(\alpha) = b/c $).
• Тангенс: отношение противолежащего катета к прилежащему ($ \text{tg}(\alpha) = a/b $).
• Котангенс: отношение прилежащего катета к противолежащему ($ \text{ctg}(\alpha) = b/a $).