Номер 22, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

22. На рисунке 23.14 заштрихованная фигура состоит из четырех, так называемых луночек Гиппократа. Докажите, что ее площадь равна площади квадрата $ABCD$.

Для доказательства равенства площадей введем следующие обозначения:

• $S_{луночек}$ – искомая площадь заштрихованной фигуры, состоящей из четырех луночек.
• $S_{квадрата}$ – площадь квадрата $ABCD$.
• $S_{4 \text{ полукругов}}$ – суммарная площадь четырех полукругов, построенных на сторонах квадрата как на диаметрах.
• $S_{\text{опис. круга}}$ – площадь круга, описанного вокруг квадрата $ABCD$.
• $S_{4 \text{ сегментов}}$ – суммарная площадь четырех сегментов описанного круга, находящихся между сторонами квадрата и дугами описанной окружности.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда его площадь составляет:

$S_{квадрата} = a^2$

Каждая заштрихованная луночка получается, если из площади полукруга, построенного на стороне квадрата, вычесть площадь сегмента описанного круга, который опирается на ту же сторону. Следовательно, для суммарной площади четырех луночек справедливо следующее соотношение:

$S_{луночек} = S_{4 \text{ полукругов}} - S_{4 \text{ сегментов}}$ (1)

В то же время, площадь круга, описанного вокруг квадрата, состоит из площади самого квадрата и площади тех же четырех сегментов:

$S_{\text{опис. круга}} = S_{квадрата} + S_{4 \text{ сегментов}}$

Из этого выражения можно выразить суммарную площадь четырех сегментов:

$S_{4 \text{ сегментов}} = S_{\text{опис. круга}} - S_{квадрата}$ (2)

Теперь подставим выражение (2) в уравнение (1):

$S_{луночек} = S_{4 \text{ полукругов}} - (S_{\text{опис. круга}} - S_{квадрата})$

$S_{луночек} = S_{4 \text{ полукругов}} - S_{\text{опис. круга}} + S_{квадрата}$ (3)

Чтобы завершить доказательство, вычислим площади $S_{4 \text{ полукругов}}$ и $S_{\text{опис. круга}}$.

1. Площадь четырех полукругов. Диаметр каждого полукруга равен стороне квадрата $a$, значит, радиус каждого полукруга $r = a/2$. Площадь одного полукруга равна $\frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (a/2)^2 = \frac{\pi a^2}{8}$. Суммарная площадь четырех таких полукругов:

$S_{4 \text{ полукругов}} = 4 \cdot \frac{\pi a^2}{8} = \frac{\pi a^2}{2}$

2. Площадь описанного круга. Диаметром круга, описанного вокруг квадрата, является его диагональ $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $a$ имеем: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d = a\sqrt{2}$. Радиус описанного круга $R = d/2 = a\sqrt{2}/2$. Площадь описанного круга равна:

$S_{\text{опис. круга}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{2a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}$

Сравнивая вычисленные площади, получаем, что $S_{4 \text{ полукругов}} = S_{\text{опис. круга}}$.

Подставим этот результат в уравнение (3):

$S_{луночек} = \left(\frac{\pi a^2}{2}\right) - \left(\frac{\pi a^2}{2}\right) + S_{квадрата}$

$S_{луночек} = 0 + S_{квадрата} = S_{квадрата}$

Таким образом, мы доказали, что площадь заштрихованной фигуры, состоящей из четырех луночек Гиппократа, равна площади квадрата $ABCD$.

Ответ: Площадь заштрихованной фигуры равна площади квадрата $ABCD$, что и требовалось доказать.