Номер 21, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 23.13, если $d = 1$ см, $a = 2$ см, $b = 6$ см.

Рис. 23.13

Для нахождения площади закрашенной фигуры необходимо из площади внешней фигуры вычесть площадь двух круглых отверстий.

1. Найдем площадь внешней фигуры.

Внешняя фигура представляет собой комбинацию прямоугольника и двух полукругов по его бокам. Эти два полукруга можно объединить в один целый круг. Высота прямоугольника, согласно рисунку, равна $a$. Диаметр круга, образованного двумя полукругами, также равен $a$. Следовательно, радиус этого круга $R = a/2$. Общая длина фигуры равна $b$. Она складывается из длины прямоугольника и двух радиусов полукругов (что равно диаметру $a$). Таким образом, длина прямоугольной части равна $b - a$. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: $S_{прям} = \text{длина} \cdot \text{ширина} = (b - a) \cdot a$. Площадь круга, образованного двумя полукругами: $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (a/2)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$. Общая площадь внешней фигуры $S_{внешн}$ равна сумме площадей прямоугольника и круга: $S_{внешн} = S_{прям} + S_{круга} = a(b-a) + \frac{\pi a^2}{4}$. Подставим заданные значения $a = 2 \text{ см}$ и $b = 6 \text{ см}$: $S_{внешн} = 2 \cdot (6-2) + \frac{\pi \cdot 2^2}{4} = 2 \cdot 4 + \frac{4\pi}{4} = 8 + \pi \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь двух круглых отверстий.

Фигура имеет два одинаковых круглых отверстия. Диаметр каждого отверстия равен $d$. Следовательно, радиус каждого отверстия $r = d/2$. Площадь одного круглого отверстия вычисляется по формуле: $S_{отв} = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$. Поскольку отверстий два, их общая площадь $S_{отверстий}$ равна: $S_{отверстий} = 2 \cdot S_{отв} = 2 \cdot \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi d^2}{2}$. Подставим заданное значение $d = 1 \text{ см}$: $S_{отверстий} = \frac{\pi \cdot 1^2}{2} = \frac{\pi}{2} \text{ см}^2$.

3. Найдем площадь итоговой фигуры.

Для этого вычтем из площади внешней фигуры общую площадь двух отверстий: $S_{фигуры} = S_{внешн} - S_{отверстий} = (8 + \pi) - \frac{\pi}{2} = 8 + \pi - \frac{\pi}{2} = 8 + \frac{2\pi - \pi}{2} = 8 + \frac{\pi}{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $8 + \frac{\pi}{2} \text{ см}^2$.