Номер 23, страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

равна площади квадрата ABCD.

23. Найдите площадь сегмента, отсекаемого от круга радиусом 1 хордой, стягивающей дугу этого сегмента величиной:

а) $60^\circ$;

б) $90^\circ$;

в) $120^\circ$.

Площадь кругового сегмента находится как разность площади соответствующего кругового сектора и площади треугольника, образованного радиусами и хордой.
Общая формула для площади сегмента: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника}$.
Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$, где $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — центральный угол, соответствующий дуге сегмента, в градусах.
Площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, вычисляется по формуле $S_{треугольника} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha)$.
В данной задаче радиус $R = 1$. Подставим это значение в формулы:
$S_{сектора} = \frac{\pi \alpha}{360^\circ}$
$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \sin(\alpha)$
$S_{сегмента} = \frac{\pi \alpha}{360^\circ} - \frac{1}{2} \sin(\alpha)$.

а) Для дуги величиной $60^\circ$:
Центральный угол $\alpha = 60^\circ$.
Площадь сектора: $S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi}{6}$.
Площадь треугольника: $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Площадь сегмента: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.

б) Для дуги величиной $90^\circ$:
Центральный угол $\alpha = 90^\circ$.
Площадь сектора: $S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 90^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi}{4}$.
Площадь треугольника: $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Площадь сегмента: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.

в) Для дуги величиной $120^\circ$:
Центральный угол $\alpha = 120^\circ$.
Площадь сектора: $S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 120^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi}{3}$.
Площадь треугольника: $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Площадь сегмента: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.