Номер 30, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

30. Попробуйте определить тригонометрические функции для прямого и тупого углов.

Определения тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс) через соотношения сторон в прямоугольном треугольнике применимы только для острых углов (от $0^\circ$ до $90^\circ$). Чтобы определить эти функции для любых углов, включая прямые и тупые, используют единичную окружность в декартовой системе координат.

Рассмотрим окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат $(0, 0)$. Любой угол $\alpha$ откладывается от положительного направления оси Ox против часовой стрелки. Конечная сторона угла пересекает единичную окружность в точке $P$ с координатами $(x, y)$.

По определению:
Синус угла $\alpha$: $\sin(\alpha) = y$
Косинус угла $\alpha$: $\cos(\alpha) = x$
Тангенс угла $\alpha$: $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$ (при $x \neq 0$)
Котангенс угла $\alpha$: $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$ (при $y \neq 0$)

Используя этот подход, мы можем определить тригонометрические функции для прямого и тупого углов.

Тригонометрические функции для прямого угла
Прямой угол равен $\alpha = 90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Конечная сторона этого угла совпадает с положительным направлением оси Oy. Точка пересечения этой стороны с единичной окружностью имеет координаты $P(0, 1)$.
Таким образом, для $\alpha = 90^\circ$ мы имеем $x=0$ и $y=1$.
Подставим эти значения в определения:
$\sin(90^\circ) = y = 1$
$\cos(90^\circ) = x = 0$
$\tan(90^\circ) = \frac{y}{x} = \frac{1}{0}$. Деление на ноль невозможно, следовательно, тангенс для угла $90^\circ$ не определен.
$\cot(90^\circ) = \frac{x}{y} = \frac{0}{1} = 0$
Ответ: Для прямого угла $\alpha = 90^\circ$: $\sin(90^\circ) = 1$, $\cos(90^\circ) = 0$, $\cot(90^\circ) = 0$, а $\tan(90^\circ)$ не существует.

Тригонометрические функции для тупого угла
Тупой угол $\alpha$ — это угол в диапазоне $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (или $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$). Конечная сторона такого угла находится во второй координатной четверти. Для любой точки $P(x, y)$ в этой четверти на единичной окружности абсцисса $x$ будет отрицательной ($x<0$), а ордината $y$ — положительной ($y>0$).
Следовательно, для тупого угла $\alpha$:
$\sin(\alpha) = y > 0$ (синус положителен)
$\cos(\alpha) = x < 0$ (косинус отрицателен)
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x} < 0$ (тангенс отрицателен)
$\cot(\alpha) = \frac{x}{y} < 0$ (котангенс отрицателен)
Для вычисления значений тригонометрических функций тупого угла $\alpha$ используют формулы приведения, которые связывают их со значениями для смежного острого угла $(180^\circ - \alpha)$:
$\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)$
$\cos(\alpha) = -\cos(180^\circ - \alpha)$
$\tan(\alpha) = -\tan(180^\circ - \alpha)$
$\cot(\alpha) = -\cot(180^\circ - \alpha)$
Например, для угла $\alpha = 135^\circ$:
$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(135^\circ) = -\cos(180^\circ - 135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan(135^\circ) = -\tan(180^\circ - 135^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$
$\cot(135^\circ) = -\cot(180^\circ - 135^\circ) = -\cot(45^\circ) = -1$
Ответ: Для тупого угла $\alpha$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$): синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны. Их значения могут быть найдены через соответствующий острый угол $(180^\circ - \alpha)$ с помощью формул приведения: $\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)$, $\cos(\alpha) = -\cos(180^\circ - \alpha)$, $\tan(\alpha) = -\tan(180^\circ - \alpha)$, $\cot(\alpha) = -\cot(180^\circ - \alpha)$.