Вопросы, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какая окружность называется единичной?

2. Как определяются $sin\varphi$ и $cos\varphi$ в случае $0^\circ < \varphi < 360^\circ$?

3. Как определяются $sin\varphi$ и $cos\varphi$ в случае $\varphi = 0^\circ$ и $\varphi = 360^\circ$?

4. Как определяются $sin\varphi$ и $cos\varphi$ в случае $\varphi > 360^\circ$?

5. Как определяются $sin\varphi$ и $cos\varphi$ для отрицательных градусных величин $\varphi$?

6. Какие тождества выполняются для синуса и косинуса в случае произвольных градусных величин?

7. Как определяются $tg\varphi$ и $ctg\varphi$ в случае произвольных градусных величин $\varphi$?

8. Для каких градусных величин $\varphi$ не определен: a) $tg\varphi$; б) $ctg\varphi$?

9. В чем состоит основное тригонометрическое тождество?

10. Как определяются тригонометрические функции для числового аргумента?

1. Какая окружность называется единичной?

Единичной окружностью называется окружность в декартовой системе координат, центр которой находится в начале координат (точка (0, 0)), а радиус равен единице. Уравнение единичной окружности имеет вид $x^2 + y^2 = 1$.
Ответ: Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1.

2. Как определяются sinф и cosф в случае 0° < ф < 360°?

Для определения синуса и косинуса угла $\phi$ используется единичная окружность. Возьмем начальную точку $P_0$ с координатами (1, 0). Повернем радиус $OP_0$ вокруг центра O на угол $\phi$ против часовой стрелки. Конечная точка этого поворота, лежащая на окружности, будет иметь координаты $(x, y)$.
Косинусом угла $\phi$ называется абсцисса (координата $x$) этой точки, а синусом угла $\phi$ — ее ордината (координата $y$).
Таким образом, $cos\phi = x$ и $sin\phi = y$.
Ответ: Косинус угла $\phi$ — это абсцисса, а синус — ордината точки на единичной окружности, полученной поворотом точки (1,0) на угол $\phi$.

3. Как определяются sinф и cosф в случае ф = 0° и ф = 360°?

В случае, когда угол поворота $\phi = 0^\circ$, поворота не происходит, и точка остается в начальном положении $P_0(1, 0)$. Следовательно, ее координаты $x=1$ и $y=0$. Отсюда:
$cos(0^\circ) = 1$
$sin(0^\circ) = 0$
В случае, когда угол поворота $\phi = 360^\circ$, точка совершает полный оборот и возвращается в то же самое начальное положение $P_0(1, 0)$. Поэтому значения синуса и косинуса для $360^\circ$ такие же, как и для $0^\circ$:
$cos(360^\circ) = 1$
$sin(360^\circ) = 0$
Ответ: Для $\phi = 0^\circ$ и $\phi = 360^\circ$ точка на единичной окружности имеет координаты (1, 0), поэтому $cos\phi = 1$ и $sin\phi = 0$.

4. Как определяются sinф и cosф в случае ф > 360°?

Если угол $\phi$ больше $360^\circ$, это означает, что точка на единичной окружности совершает один или несколько полных оборотов ($360^\circ$) и затем поворачивается на оставшийся угол. Любой такой угол можно представить в виде $\phi = \alpha + 360^\circ \cdot k$, где $k$ — целое число (количество полных оборотов), а $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$.
Поскольку полный оборот возвращает точку в исходное положение, положение точки для угла $\phi$ будет таким же, как и для угла $\alpha$. Следовательно:
$sin\phi = sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = sin\alpha$
$cos\phi = cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = cos\alpha$
Это свойство называется периодичностью синуса и косинуса.
Ответ: Значения синуса и косинуса для угла $\phi > 360^\circ$ совпадают со значениями для угла $\alpha = \phi - 360^\circ \cdot k$, где $k$ — такое целое число, что $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$.

5. Как определяются sinф и cosф для отрицательных градусных величин ф?

Отрицательный угол $\phi$ означает поворот на ту же величину, но в противоположном направлении — по часовой стрелке. Если точка $P(x, y)$ на единичной окружности соответствует углу $\phi$, то повороту на угол $-\phi$ будет соответствовать точка $P'(x', y')$. Эта точка будет симметрична точке $P$ относительно оси абсцисс (оси Ox).
При симметрии относительно оси Ox абсцисса точки не меняется, а ордината меняет знак на противоположный. Таким образом, $x' = x$ и $y' = -y$.
Отсюда следуют формулы:
$cos(-\phi) = x' = x = cos\phi$ (косинус — четная функция)
$sin(-\phi) = y' = -y = -sin\phi$ (синус — нечетная функция)
Ответ: $cos(-\phi) = cos\phi$ и $sin(-\phi) = -sin\phi$.

6. Какие тождества выполняются для синуса и косинуса в случае произвольных градусных величин?

Для синуса и косинуса произвольного угла $\phi$ выполняются следующие основные тождества:
1. Основное тригонометрическое тождество: $sin^2\phi + cos^2\phi = 1$.
2. Периодичность: $sin(\phi + 360^\circ \cdot k) = sin\phi$ и $cos(\phi + 360^\circ \cdot k) = cos\phi$, где $k$ — любое целое число.
3. Свойства четности и нечетности: $sin(-\phi) = -sin\phi$ (нечетная функция) и $cos(-\phi) = cos\phi$ (четная функция).
Ответ: Основные тождества: $sin^2\phi + cos^2\phi = 1$, $sin(\phi + 360^\circ k) = sin\phi$, $cos(\phi + 360^\circ k) = cos\phi$, $sin(-\phi) = -sin\phi$, $cos(-\phi) = cos\phi$.

7. Как определяются tgф и ctgф в случае произвольных градусных величин ф?

Тангенс ($tg\phi$) и котангенс ($ctg\phi$) для произвольного угла $\phi$ определяются как отношения синуса и косинуса этого угла.
Тангенс угла $\phi$ — это отношение синуса к косинусу:
$tg\phi = \frac{sin\phi}{cos\phi}$
Котангенс угла $\phi$ — это отношение косинуса к синусу:
$ctg\phi = \frac{cos\phi}{sin\phi}$
Эти определения имеют смысл только тогда, когда знаменатель в дроби не равен нулю.
Ответ: Тангенс определяется как $tg\phi = \frac{sin\phi}{cos\phi}$, а котангенс — как $ctg\phi = \frac{cos\phi}{sin\phi}$.

8. Для каких градусных величин ф не определен: а) tgф; б) ctgф?

а) tgф:
Тангенс $tg\phi = \frac{sin\phi}{cos\phi}$ не определен, когда его знаменатель $cos\phi$ равен нулю. На единичной окружности $cos\phi = 0$ в точках (0, 1) и (0, -1). Это соответствует углам $90^\circ$ и $270^\circ$, а также всем углам, которые отличаются от них на целое число полуоборотов ($180^\circ$).
Общая формула для таких углов: $\phi = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число.
б) ctgф:
Котангенс $ctg\phi = \frac{cos\phi}{sin\phi}$ не определен, когда его знаменатель $sin\phi$ равен нулю. На единичной окружности $sin\phi = 0$ в точках (1, 0) и (-1, 0). Это соответствует углам $0^\circ$ и $180^\circ$, а также всем углам, которые отличаются от них на целое число полуоборотов ($180^\circ$).
Общая формула для таких углов: $\phi = 180^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: а) $tg\phi$ не определен для $\phi = 90^\circ + 180^\circ \cdot k$; б) $ctg\phi$ не определен для $\phi = 180^\circ \cdot k$, где $k$ — целое число.

9. В чем состоит основное тригонометрическое тождество?

Основное тригонометрическое тождество гласит, что для любого угла $\phi$ сумма квадратов его синуса и косинуса равна единице.
Формула: $sin^2\phi + cos^2\phi = 1$.
Это тождество является прямым следствием определения синуса и косинуса через координаты $(x, y)$ точки на единичной окружности. Так как $x = cos\phi$ и $y = sin\phi$, а уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$, то, подставив значения, получаем $(cos\phi)^2 + (sin\phi)^2 = 1$.
Ответ: Сумма квадратов синуса и косинуса любого угла равна единице: $sin^2\phi + cos^2\phi = 1$.

10. Как определяются тригонометрические функции для числового аргумента?

Тригонометрические функции для числового аргумента (например, $sin(2,5)$) определяются через радианную меру угла. Числовой аргумент по умолчанию считается величиной угла в радианах.
Радианная мера — это способ измерения углов, основанный на длине дуги окружности. Угол в 1 радиан — это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.
Поскольку длина всей единичной окружности (радиус $r=1$) равна $2\pi$, то полный угол $360^\circ$ соответствует $2\pi$ радианам. Отсюда ключевое соотношение: $180^\circ = \pi$ радиан.
Чтобы найти, например, $sin(x)$ для числа $x$, нужно отложить от точки $(1, 0)$ по единичной окружности дугу длиной $x$ (против часовой стрелки, если $x > 0$, и по часовой, если $x < 0$). Ордината конечной точки этой дуги и будет значением $sin(x)$, а абсцисса — значением $cos(x)$. Остальные функции ($tg(x)$, $ctg(x)$) определяются через синус и косинус так же, как и для углов в градусах.
Ответ: Тригонометрические функции для числового аргумента $x$ определяются как функции угла, величина которого равна $x$ радиан.