Номер 6, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Точка A получена в результате поворота точки $A_0(1; 0)$ на угол:

а) $300^\circ$;

б) $315^\circ$;

в) $330^\circ$;

г) $360^\circ$. Чему равны координаты точки A?

Для нахождения координат точки $A(x, y)$, полученной в результате поворота точки $A_0(x_0, y_0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$, используются формулы: $x = x_0 \cos(\alpha) - y_0 \sin(\alpha)$ и $y = x_0 \sin(\alpha) + y_0 \cos(\alpha)$. В нашем случае исходная точка $A_0(1; 0)$, поэтому $x_0=1$ и $y_0=0$. Формулы упрощаются до: $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$. Таким образом, координаты искомой точки $A$ для каждого случая будут $(\cos(\alpha); \sin(\alpha))$.

а) Найдем координаты точки $A$ при повороте на угол $\alpha = 300^\circ$.Координаты точки $A$ будут $(x; y)$, где $x = \cos(300^\circ)$ и $y = \sin(300^\circ)$.Угол $300^\circ$ находится в IV четверти, где косинус положителен, а синус отрицателен. Используя формулы приведения, получаем:$x = \cos(300^\circ) = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.$y = \sin(300^\circ) = \sin(360^\circ - 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.Ответ: $A(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

б) Найдем координаты точки $A$ при повороте на угол $\alpha = 315^\circ$.Координаты точки $A$ будут $(x; y)$, где $x = \cos(315^\circ)$ и $y = \sin(315^\circ)$.Угол $315^\circ$ находится в IV четверти. Используя формулы приведения, получаем:$x = \cos(315^\circ) = \cos(360^\circ - 45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.$y = \sin(315^\circ) = \sin(360^\circ - 45^\circ) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Ответ: $A(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

в) Найдем координаты точки $A$ при повороте на угол $\alpha = 330^\circ$.Координаты точки $A$ будут $(x; y)$, где $x = \cos(330^\circ)$ и $y = \sin(330^\circ)$.Угол $330^\circ$ находится в IV четверти. Используя формулы приведения, получаем:$x = \cos(330^\circ) = \cos(360^\circ - 30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.$y = \sin(330^\circ) = \sin(360^\circ - 30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$.Ответ: $A(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

г) Найдем координаты точки $A$ при повороте на угол $\alpha = 360^\circ$.Координаты точки $A$ будут $(x; y)$, где $x = \cos(360^\circ)$ и $y = \sin(360^\circ)$.Поворот на $360^\circ$ является полным оборотом и возвращает точку в ее исходное положение.$x = \cos(360^\circ) = \cos(0^\circ) = 1$.$y = \sin(360^\circ) = \sin(0^\circ) = 0$.Координаты точки $A$ совпадают с координатами точки $A_0$.Ответ: $A(1; 0)$.