Номер 9, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Найдите:

а) $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$;

в) $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$;

г) $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$;

д) $\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)$;

е) $\sin\left(-2\pi\right)$;

ж) $\sin\left(-\frac{7\pi}{3}\right)$.

а) Для нахождения значения $\sin(-\frac{\pi}{6})$ воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ (30°) является табличным: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4})$.
Табличное значение синуса для угла $\frac{\pi}{4}$ (45°) равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ (60°) равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{2}$ (90°) равно $1$.
Таким образом, $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Ответ: $-1$.

д) Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\sin(\frac{5\pi}{6})$.
Для вычисления $\sin(\frac{5\pi}{6})$ воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$.
$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6})$.
Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

е) Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-2\pi) = -\sin(2\pi)$.
Функция синус имеет период $2\pi$, поэтому $\sin(2\pi) = \sin(0) = 0$.
Таким образом, $\sin(-2\pi) = -0 = 0$.
Альтернативно, можно сразу воспользоваться периодичностью: $\sin(-2\pi) = \sin(-2\pi + 2\pi) = \sin(0) = 0$.
Ответ: $0$.

ж) Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-\frac{7\pi}{3}) = -\sin(\frac{7\pi}{3})$.
Угол $\frac{7\pi}{3}$ можно представить в виде $\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.
Используя периодичность синуса ($\sin(\alpha+2\pi k) = \sin(\alpha)$ для целых $k$), получаем:
$\sin(\frac{7\pi}{3}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, $\sin(-\frac{7\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.