Номер 5, страница 147 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Точка А получена в результате поворота точки $A_0(1; 0)$ на угол:

а) $210^\circ$; б) $225^\circ$; в) $240^\circ$; г) $270^\circ$. Чему равны координаты точки А?

Для нахождения координат точки А, полученной в результате поворота точки $A_0(x_0; y_0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$, используются общие формулы поворота:
$x = x_0 \cos \alpha - y_0 \sin \alpha$
$y = x_0 \sin \alpha + y_0 \cos \alpha$

В данной задаче начальная точка $A_0$ имеет координаты $(1; 0)$, следовательно $x_0=1$ и $y_0=0$. Подставив эти значения в формулы, мы их упростим:
$x = 1 \cdot \cos \alpha - 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha$
$y = 1 \cdot \sin \alpha + 0 \cdot \cos \alpha = \sin \alpha$

Таким образом, координаты искомой точки A для каждого заданного угла $\alpha$ будут равны $(\cos \alpha; \sin \alpha)$. Теперь рассчитаем координаты для каждого случая.

а) Угол поворота $\alpha = 210^{\circ}$.
Координаты точки А будут $(\cos(210^{\circ}); \sin(210^{\circ}))$.
Используя формулы приведения, найдем значения синуса и косинуса:
$x = \cos(210^{\circ}) = \cos(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(210^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\sin(30^{\circ}) = -\frac{1}{2}$
Ответ: $A(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

б) Угол поворота $\alpha = 225^{\circ}$.
Координаты точки А будут $(\cos(225^{\circ}); \sin(225^{\circ}))$.
$x = \cos(225^{\circ}) = \cos(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\cos(45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(225^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\sin(45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $A(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

в) Угол поворота $\alpha = 240^{\circ}$.
Координаты точки А будут $(\cos(240^{\circ}); \sin(240^{\circ}))$.
$x = \cos(240^{\circ}) = \cos(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(240^{\circ}) = \sin(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\sin(60^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $A(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

г) Угол поворота $\alpha = 270^{\circ}$.
Координаты точки А будут $(\cos(270^{\circ}); \sin(270^{\circ}))$.
Эти значения являются табличными:
$x = \cos(270^{\circ}) = 0$
$y = \sin(270^{\circ}) = -1$
Ответ: $A(0; -1)$.