Номер 8, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Найдите:

a) $ \cos 0^\circ $;

б) $ \cos \frac{\pi}{6} $;

в) $ \cos \frac{\pi}{4} $;

г) $ \cos \frac{\pi}{3} $;

д) $ \cos \frac{\pi}{2} $;

е) $ \cos \frac{2\pi}{3} $;

ж) $ \cos \frac{3\pi}{4} $;

з) $ \cos \frac{5\pi}{6} $;

и) $ \cos \pi $.

а) Значение косинуса угла $0^\circ$ является табличным значением. На единичной окружности угол $0^\circ$ соответствует точке с координатами $(1, 0)$. Косинус угла определяется как абсцисса (координата x) этой точки. Следовательно, $\cos 0^\circ = 1$.
Ответ: $1$.

б) Значение косинуса угла $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$) является табличным значением. Это одно из основных значений тригонометрических функций. $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Значение косинуса угла $\frac{\pi}{4}$ (что соответствует $45^\circ$) является табличным значением. $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Значение косинуса угла $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует $60^\circ$) является табличным значением. $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

д) Значение косинуса угла $\frac{\pi}{2}$ (что соответствует $90^\circ$) является табличным значением. На единичной окружности угол $\frac{\pi}{2}$ соответствует точке с координатами $(0, 1)$. Косинус угла - это абсцисса этой точки. Следовательно, $\cos \frac{\pi}{2} = 0$.
Ответ: $0$.

е) Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi $), где значения косинуса отрицательны. Для нахождения значения можно использовать формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Представим угол $\frac{2\pi}{3}$ в виде разности: $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$.
Применяя формулу, получаем: $\cos \frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3}$.
Так как $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, то $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

ж) Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi $), где косинус отрицателен. Используем ту же формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Представим угол $\frac{3\pi}{4}$ в виде разности: $\frac{3\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4}$.
Применяя формулу, получаем: $\cos \frac{3\pi}{4} = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4}$.
Так как $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

з) Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi $), где косинус отрицателен. Снова используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Представим угол $\frac{5\pi}{6}$ в виде разности: $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$.
Применяя формулу, получаем: $\cos \frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6}$.
Так как $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

и) Значение косинуса угла $\pi$ (что соответствует $180^\circ$) является табличным значением. На единичной окружности угол $\pi$ соответствует точке с координатами $(-1, 0)$. Косинус угла - это абсцисса этой точки. Следовательно, $\cos \pi = -1$.
Ответ: $-1$.