Номер 13, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Укажите, для каких градусных величин синус принимает:

а) положительные значения;

б) значения, равные нулю;

в) отрицательные значения.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определением синуса через единичную окружность. В декартовой системе координат синус угла $\alpha$ — это ордината (координата $y$) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу. Угол отсчитывается от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки.

а) положительные значения

Синус принимает положительные значения ($\sin(\alpha) > 0$), когда ордината точки на единичной окружности положительна. Это происходит в I и II координатных четвертях.
I четверть соответствует углам от $0^\circ$ до $90^\circ$.
II четверть соответствует углам от $90^\circ$ до $180^\circ$.
Объединяя эти два интервала, получаем, что синус положителен для углов от $0^\circ$ до $180^\circ$.
Так как функция синуса периодична с периодом $360^\circ$, мы должны добавить к границам интервала $360^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($\mathbb{Z}$).

Ответ: $360^\circ \cdot k < \alpha < 180^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) значения, равные нулю

Синус равен нулю ($\sin(\alpha) = 0$), когда ордината точки на единичной окружности равна нулю. Это происходит, когда точка лежит на оси абсцисс ($Ox$).
Такие точки соответствуют углам $0^\circ$ и $180^\circ$.
Чтобы учесть все возможные углы, мы должны учесть периодичность. Все углы, при которых синус равен нулю, можно описать одной формулой, так как они повторяются каждые $180^\circ$.

Ответ: $\alpha = 180^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) отрицательные значения

Синус принимает отрицательные значения ($\sin(\alpha) < 0$), когда ордината точки на единичной окружности отрицательна. Это происходит в III и IV координатных четвертях.
III четверть соответствует углам от $180^\circ$ до $270^\circ$.
IV четверть соответствует углам от $270^\circ$ до $360^\circ$.
Объединяя эти два интервала, получаем, что синус отрицателен для углов от $180^\circ$ до $360^\circ$.
С учетом периодичности функции ($360^\circ$) общее решение выглядит следующим образом.

Ответ: $180^\circ + 360^\circ \cdot k < \alpha < 360^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.