Номер 18, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Для каких градусных величин тангенс принимает значения:

а) больше нуля;

б) равные нулю;

в) меньше нуля?

а) больше нуля;
Значение тангенса угла $α$, которое определяется по формуле $tan(α) = \frac{sin(α)}{cos(α)}$, является положительным в том случае, когда синус ($sin(α)$) и косинус ($cos(α)$) этого угла имеют одинаковые знаки. Такое условие выполняется в двух координатных четвертях:
1. В I четверти, для углов $0° < α < 90°$, где и $sin(α) > 0$, и $cos(α) > 0$.
2. В III четверти, для углов $180° < α < 270°$, где и $sin(α) < 0$, и $cos(α) < 0$.
Функция тангенса имеет период $180°$, что позволяет объединить эти два интервала в одно общее выражение. Используя интервал для I четверти как базовый и добавляя к его границам величину $180°k$, где $k$ — любое целое число ($k ∈ ℤ$), мы получаем общую формулу для всех углов, тангенс которых больше нуля.
Следовательно, тангенс принимает положительные значения при $180°k < α < 90° + 180°k$.
Ответ: $180°k < α < 90° + 180°k, k ∈ ℤ$.

б) равные нулю;
Тангенс угла $α$ равен нулю, когда числитель в дроби $\frac{sin(α)}{cos(α)}$ равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То есть, $tan(α) = 0$ при выполнении двух условий: $sin(α) = 0$ и $cos(α) \neq 0$.
Условие $sin(α) = 0$ справедливо для углов, конечная сторона которых совпадает с положительным или отрицательным направлением оси Ox. Это углы $0°, 180°, 360°, 540°$ и так далее.
В общем виде это записывается формулой $α = 180°k$, где $k$ — любое целое число ($k ∈ ℤ$).
Для этих углов значение косинуса $cos(180°k)$ равно $1$ (при четных $k$) или $-1$ (при нечетных $k$). В обоих случаях $cos(α) \neq 0$, поэтому условие для знаменателя выполняется.
Таким образом, тангенс равен нулю при $α = 180°k$.
Ответ: $α = 180°k, k ∈ ℤ$.

в) меньше нуля?
Тангенс угла $α$ принимает отрицательные значения, когда его синус ($sin(α)$) и косинус ($cos(α)$) имеют противоположные знаки.
Это происходит в следующих случаях:
1. Во II четверти, для углов $90° < α < 180°$, где $sin(α) > 0$, а $cos(α) < 0$.
2. В IV четверти, для углов $270° < α < 360°$, где $sin(α) < 0$, а $cos(α) > 0$.
Заметим, что при углах $90°$ и $270°$ (и в общем виде $90° + 180°k$) тангенс не определен, так как косинус обращается в ноль.
С учетом периодичности тангенса ($180°$), мы можем обобщить эти два интервала в единую формулу. Возьмем интервал II четверти: $90° < α < 180°$. Добавив к границам $180°k$ (где $k ∈ ℤ$), получим общее решение, которое описывает все необходимые углы. Например, при $k=1$ получаем интервал $90° + 180° < α < 180° + 180°$, что соответствует $270° < α < 360°$ (IV четверть).
Следовательно, тангенс отрицателен при $90° + 180°k < α < 180° + 180°k$.
Ответ: $90° + 180°k < α < 180° + 180°k, k ∈ ℤ$.