Номер 17, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Найдите:

а) $tg(\frac{7\pi}{4})$;

б) $tg(-\frac{\pi}{6})$;

в) $ctg(\frac{5\pi}{3})$;

г) $ctg(-\frac{3\pi}{4})$.

а) Чтобы найти значение $ \tg(\frac{7\pi}{4}) $, представим угол $ \frac{7\pi}{4} $ в виде разности $ 2\pi - \frac{\pi}{4} $ и воспользуемся формулой приведения $ \tg(2\pi - \alpha) = -\tg(\alpha) $.

$ \tg(\frac{7\pi}{4}) = \tg(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tg(\frac{\pi}{4}) $.

Мы знаем табличное значение $ \tg(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Следовательно, $ \tg(\frac{7\pi}{4}) = -1 $.

Ответ: -1

б) Тангенс является нечетной функцией, поэтому для любого угла $ \alpha $ справедливо равенство $ \tg(-\alpha) = -\tg(\alpha) $.

Применив это свойство, получаем: $ \tg(-\frac{\pi}{6}) = -\tg(\frac{\pi}{6}) $.

Табличное значение $ \tg(\frac{\pi}{6}) $ равно $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Таким образом, $ \tg(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) Для нахождения $ \ctg(\frac{5\pi}{3}) $ представим угол $ \frac{5\pi}{3} $ в виде $ 2\pi - \frac{\pi}{3} $ и используем формулу приведения $ \ctg(2\pi - \alpha) = -\ctg(\alpha) $.

$ \ctg(\frac{5\pi}{3}) = \ctg(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\ctg(\frac{\pi}{3}) $.

Табличное значение $ \ctg(\frac{\pi}{3}) $ равно $ \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Следовательно, $ \ctg(\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

г) Котангенс также является нечетной функцией, поэтому $ \ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha) $.

Применяя это свойство, получаем: $ \ctg(-\frac{3\pi}{4}) = -\ctg(\frac{3\pi}{4}) $.

Далее, для $ \ctg(\frac{3\pi}{4}) $ используем формулу приведения, представив угол как $ \pi - \frac{\pi}{4} $. Формула: $ \ctg(\pi - \alpha) = -\ctg(\alpha) $.

$ \ctg(\frac{3\pi}{4}) = \ctg(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\ctg(\frac{\pi}{4}) $.

Так как $ \ctg(\frac{\pi}{4}) = 1 $, то $ \ctg(\frac{3\pi}{4}) = -1 $.

Подставляем это значение обратно в первое выражение: $ \ctg(-\frac{3\pi}{4}) = -(-1) = 1 $.

Ответ: 1