Номер 2, страница 151 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Две стороны прямоугольника $ABCD$ равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. По условию, длины его двух сторон равны 6 и 8. Поскольку стороны прямоугольника, выходящие из одной вершины, перпендикулярны, это длины его смежных сторон. Обозначим длины сторон как $|AB| = 6$ и $|AD| = 8$.

Требуется найти длину суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Сумма векторов, выходящих из одной точки, по правилу параллелограмма, равна вектору диагонали этого параллелограмма, выходящему из той же точки.

В нашем случае, фигура $ABCD$ — это прямоугольник, который является частным случаем параллелограмма. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ — это векторы, соответствующие смежным сторонам прямоугольника, исходящие из вершины $A$. Их суммой будет вектор диагонали $\vec{AC}$, исходящий из той же вершины $A$:

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Следовательно, задача сводится к нахождению длины вектора $\vec{AC}$, что равносильно нахождению длины диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. В нем катеты — это стороны прямоугольника $AB$ и $BC$, а гипотенуза — его диагональ $AC$. Длина стороны $AB$ равна 6. Длина стороны $BC$ равна длине противоположной стороны $AD$, то есть $BC = AD = 8$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Подставим известные значения длин сторон:

$AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

Теперь найдем длину $AC$, извлекая квадратный корень:

$AC = \sqrt{100} = 10$

Таким образом, длина суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равна 10.

Ответ: 10