Номер 7, страница 151 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Стороны $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ равны соответственно 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке $O$. Найдите длину суммы векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$.

По условию, $ABCD$ — прямоугольник, стороны которого $AB = 6$ и $AD = 8$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Нам нужно найти длину суммы векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$, то есть величину $|\vec{AO} + \vec{BO}|$.

В прямоугольнике, как и в любом параллелограмме, диагонали в точке пересечения делятся пополам. Точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Это означает, что векторы $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ равны, так как они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Таким образом, мы можем заменить вектор $\vec{BO}$ на равный ему вектор $\vec{OD}$.

Рассмотрим сумму векторов $\vec{AO} + \vec{BO}$. Сделаем замену $\vec{BO} = \vec{OD}$: $\vec{AO} + \vec{BO} = \vec{AO} + \vec{OD}$.

По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов, где конец одного является началом другого, равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго. В нашем случае: $\vec{AO} + \vec{OD} = \vec{AD}$.

Следовательно, искомая сумма векторов равна вектору $\vec{AD}$: $\vec{AO} + \vec{BO} = \vec{AD}$.

Теперь найдем длину (модуль) этой суммы векторов, которая будет равна длине вектора $\vec{AD}$: $|\vec{AO} + \vec{BO}| = |\vec{AD}|$.

Длина вектора $\vec{AD}$ равна длине стороны $AD$ прямоугольника. По условию, $AD = 8$. Таким образом, $|\vec{AD}| = 8$.

Ответ: 8