Номер 3, страница 151 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Длины его смежных сторон равны 6 и 8. Без ограничения общности, пусть длина стороны $AB$ равна 6, а длина стороны $AD$ равна 8. Таким образом, $|\overrightarrow{AB}| = 6$ и $|\overrightarrow{AD}| = 8$.
Нам необходимо найти длину разности векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$, то есть найти величину $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}|$.
По определению разности векторов, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ — это такой вектор $\vec{c}$, что $\overrightarrow{AD} + \vec{c} = \overrightarrow{AB}$. Если отложить векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ от одной точки $A$, то их разностью будет вектор, соединяющий конец второго вектора ($D$) с концом первого вектора ($B$). Таким образом, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$.
Другой способ рассуждения — через сложение с противоположным вектором:$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AD})$.
Вектор $-\overrightarrow{AD}$ имеет ту же длину, что и $\overrightarrow{AD}$, но противоположное направление. Следовательно, $-\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA}$.
Тогда разность векторов равна сумме: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$.
По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{AB}$ — это вектор, идущий из начальной точки первого вектора ($D$) в конечную точку второго вектора ($B$). Таким образом, $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB}$.
Итак, искомая величина — это длина вектора $\overrightarrow{DB}$, которая совпадает с длиной диагонали $DB$ прямоугольника $ABCD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DAB$. Угол $\angle A$ равен $90^\circ$, так как $ABCD$ — прямоугольник. Стороны $AB$ и $AD$ являются катетами этого треугольника, а диагональ $DB$ — его гипотенузой.
По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
$DB^2 = AB^2 + AD^2$
Подставим известные длины сторон:
$DB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
Найдем длину $DB$, извлекая квадратный корень:
$DB = \sqrt{100} = 10$
Следовательно, длина разности векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ равна 10.
Ответ: 10