Номер 20, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Докажите, что имеют место тождества:

$ \text{tg} (\Phi + 180^{\circ}) = \text{tg}\Phi, \quad \text{ctg}(\Phi + 180^{\circ}) = \text{ctg}\Phi, $

$ \text{tg}(-\Phi) = -\text{tg}\Phi, \quad \text{ctg}(-\Phi) = -\text{ctg}\Phi. $

tg (φ + 180°) = tgφ

Для доказательства этого тождества воспользуемся определением тангенса $tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ и формулами приведения. Согласно формулам приведения, которые показывают, как изменяются тригонометрические функции при добавлении к аргументу углов, кратных $90^{\circ}$ или $180^{\circ}$, мы имеем:

$ \sin(\phi + 180^{\circ}) = -\sin\phi $

$ \cos(\phi + 180^{\circ}) = -\cos\phi $

Теперь подставим эти выражения в определение тангенса для угла $(\phi + 180^{\circ})$:

$ tg(\phi + 180^{\circ}) = \frac{\sin(\phi + 180^{\circ})}{\cos(\phi + 180^{\circ})} = \frac{-\sin\phi}{-\cos\phi} = \frac{\sin\phi}{\cos\phi} = tg\phi $

Таким образом, тождество доказано, и это также показывает, что функция тангенса является периодической с периодом $180^{\circ}$ (или $\pi$ радиан).
Ответ: $tg(\phi + 180^{\circ}) = tg\phi$.

ctg(φ + 180°) = ctgφ

Доказательство этого тождества аналогично предыдущему. Используем определение котангенса $ctg(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ и те же самые формулы приведения:

$ \cos(\phi + 180^{\circ}) = -\cos\phi $

$ \sin(\phi + 180^{\circ}) = -\sin\phi $

Подставляем полученные выражения в определение котангенса:

$ ctg(\phi + 180^{\circ}) = \frac{\cos(\phi + 180^{\circ})}{\sin(\phi + 180^{\circ})} = \frac{-\cos\phi}{-\sin\phi} = \frac{\cos\phi}{\sin\phi} = ctg\phi $

Тождество доказано. Это также подтверждает, что функция котангенса имеет период $180^{\circ}$.
Ответ: $ctg(\phi + 180^{\circ}) = ctg\phi$.

tg(-φ) = -tgφ

Это тождество доказывается на основе свойств четности и нечетности тригонометрических функций. Вспомним, что функция синус является нечетной, а функция косинус — четной:

$ \sin(-\phi) = -\sin\phi $ (нечетная функция)

$ \cos(-\phi) = \cos\phi $ (четная функция)

Используя определение тангенса, получаем:

$ tg(-\phi) = \frac{\sin(-\phi)}{\cos(-\phi)} = \frac{-\sin\phi}{\cos\phi} = -\frac{\sin\phi}{\cos\phi} = -tg\phi $

Это доказывает, что тангенс является нечетной функцией.
Ответ: $tg(-\phi) = -tg\phi$.

ctg(-φ) = -ctgφ

Аналогично предыдущему пункту, используем определение котангенса и свойства четности/нечетности синуса и косинуса.

Применяем те же свойства $ \sin(-\phi) = -\sin\phi $ и $ \cos(-\phi) = \cos\phi $ к определению котангенса:

$ ctg(-\phi) = \frac{\cos(-\phi)}{\sin(-\phi)} = \frac{\cos\phi}{-\sin\phi} = -\frac{\cos\phi}{\sin\phi} = -ctg\phi $

Таким образом, котангенс также является нечетной функцией.
Ответ: $ctg(-\phi) = -ctg\phi$.