Номер 16, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Найдите:
а) $\tan(-30^\circ)$;
б) $\tan(-150^\circ)$;
в) $\cot(420^\circ)$;
г) $\cot(-135^\circ)$.

а) Для нахождения значения $tg(-30°)$ воспользуемся свойством нечетности функции тангенса, которое гласит, что $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$.
Применяя это свойство, получаем:
$tg(-30°) = -tg(30°)$.
Значение $tg(30°)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $tg(-30°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Для нахождения значения $tg(-150°)$ воспользуемся свойством периодичности функции тангенса. Период тангенса равен $180°$, то есть $tg(\alpha + 180° \cdot k) = tg(\alpha)$ для любого целого $k$.
Прибавим к аргументу период $180°$ (т.е. $k=1$):
$tg(-150°) = tg(-150° + 180°) = tg(30°)$.
Значение $tg(30°)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Альтернативный способ:
Используем свойство нечетности: $tg(-150°) = -tg(150°)$.
Далее, по формуле приведения $tg(180° - \alpha) = -tg(\alpha)$:
$tg(150°) = tg(180° - 30°) = -tg(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Тогда $tg(-150°) = -(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Для нахождения значения $ctg(420°)$ воспользуемся свойством периодичности функции котангенса. Период котангенса равен $180°$, поэтому $ctg(\alpha + 180° \cdot k) = ctg(\alpha)$ для любого целого $k$.
Представим угол $420°$ в виде $k \cdot 180° + \alpha$.
$420° = 2 \cdot 180° + 60° = 360° + 60°$.
Следовательно, $ctg(420°) = ctg(360° + 60°) = ctg(60°)$.
Значение $ctg(60°)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) Для нахождения значения $ctg(-135°)$ воспользуемся свойством периодичности функции котангенса. Период котангенса равен $180°$.
Прибавим к аргументу период $180°$ (т.е. $k=1$):
$ctg(-135°) = ctg(-135° + 180°) = ctg(45°)$.
Значение $ctg(45°)$ является табличным и равно $1$.
Альтернативный способ:
Используем свойство нечетности: $ctg(-135°) = -ctg(135°)$.
Далее, по формуле приведения $ctg(180° - \alpha) = -ctg(\alpha)$:
$ctg(135°) = ctg(180° - 45°) = -ctg(45°) = -1$.
Тогда $ctg(-135°) = -(-1) = 1$.
Ответ: $1$.