Номер 12, страница 148 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Могут ли синус и косинус принимать значения:

а) больше $1$;

б) меньше $-1$?

Значения синуса и косинуса любого действительного угла $\alpha$ всегда находятся в диапазоне от -1 до 1. Это напрямую следует из определения этих функций через единичную окружность, а также из основного тригонометрического тождества: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

а) больше 1;
Предположим, что для некоторого угла $\alpha$ значение $\sin(\alpha) > 1$. Тогда $\sin^2(\alpha)$ будет больше $1^2$, то есть $\sin^2(\alpha) > 1$. Подставим это в основное тригонометрическое тождество: $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$. Если $\sin^2(\alpha) > 1$, то разность $1 - \sin^2(\alpha)$ будет отрицательной. Это означает, что $\cos^2(\alpha) < 0$. Однако квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Аналогичные рассуждения применимы и к косинусу. Если предположить, что $\cos(\alpha) > 1$, то $\cos^2(\alpha) > 1$, и тогда $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) < 0$, что также невозможно.
Ответ: нет, синус и косинус не могут принимать значения больше 1.

б) меньше -1?
Предположим, что для некоторого угла $\alpha$ значение $\sin(\alpha) < -1$. При возведении в квадрат отрицательного числа, которое по модулю больше 1, мы получим число, которое больше 1. То есть, из $\sin(\alpha) < -1$ следует, что $\sin^2(\alpha) > 1$. Как и в предыдущем пункте, это приводит к противоречию, поскольку $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$ станет отрицательным. То же самое верно и для косинуса: если $\cos(\alpha) < -1$, то $\cos^2(\alpha) > 1$, что делает $\sin^2(\alpha)$ отрицательным, а это невозможно.
Ответ: нет, синус и косинус не могут принимать значения меньше -1.