Страница 151 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Две стороны прямоугольника $ABCD$ равны 6 и 8. Найдите длину вектора $\vec{AC}$.

1. Пусть дан прямоугольник ABCD. Две его стороны равны 6 и 8. Поскольку это прямоугольник, эти стороны являются смежными (длина и ширина). Обозначим их как $AB = 6$ и $BC = 8$.

Длина вектора $\vec{AC}$ совпадает с длиной диагонали AC прямоугольника.

Диагональ AC делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где $\angle B = 90^\circ$. В этом треугольнике стороны AB и BC являются катетами, а диагональ AC — гипотенузой.

Для нахождения длины гипотенузы воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Подставим известные значения длин сторон:

$AC^2 = 6^2 + 8^2$

$AC^2 = 36 + 64$

$AC^2 = 100$

Теперь найдем длину AC, извлекая квадратный корень:

$AC = \sqrt{100}$

$AC = 10$

Таким образом, длина вектора $\vec{AC}$ равна 10.

Ответ: 10

2. Две стороны прямоугольника $ABCD$ равны 6 и 8. Найдите длину суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. По условию, длины его двух сторон равны 6 и 8. Поскольку стороны прямоугольника, выходящие из одной вершины, перпендикулярны, это длины его смежных сторон. Обозначим длины сторон как $|AB| = 6$ и $|AD| = 8$.

Требуется найти длину суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Сумма векторов, выходящих из одной точки, по правилу параллелограмма, равна вектору диагонали этого параллелограмма, выходящему из той же точки.

В нашем случае, фигура $ABCD$ — это прямоугольник, который является частным случаем параллелограмма. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ — это векторы, соответствующие смежным сторонам прямоугольника, исходящие из вершины $A$. Их суммой будет вектор диагонали $\vec{AC}$, исходящий из той же вершины $A$:

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Следовательно, задача сводится к нахождению длины вектора $\vec{AC}$, что равносильно нахождению длины диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. В нем катеты — это стороны прямоугольника $AB$ и $BC$, а гипотенуза — его диагональ $AC$. Длина стороны $AB$ равна 6. Длина стороны $BC$ равна длине противоположной стороны $AD$, то есть $BC = AD = 8$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Подставим известные значения длин сторон:

$AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

Теперь найдем длину $AC$, извлекая квадратный корень:

$AC = \sqrt{100} = 10$

Таким образом, длина суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равна 10.

Ответ: 10

3. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Длины его смежных сторон равны 6 и 8. Без ограничения общности, пусть длина стороны $AB$ равна 6, а длина стороны $AD$ равна 8. Таким образом, $|\overrightarrow{AB}| = 6$ и $|\overrightarrow{AD}| = 8$.
Нам необходимо найти длину разности векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$, то есть найти величину $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}|$.
По определению разности векторов, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ — это такой вектор $\vec{c}$, что $\overrightarrow{AD} + \vec{c} = \overrightarrow{AB}$. Если отложить векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ от одной точки $A$, то их разностью будет вектор, соединяющий конец второго вектора ($D$) с концом первого вектора ($B$). Таким образом, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$.
Другой способ рассуждения — через сложение с противоположным вектором:$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AD})$.
Вектор $-\overrightarrow{AD}$ имеет ту же длину, что и $\overrightarrow{AD}$, но противоположное направление. Следовательно, $-\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA}$.
Тогда разность векторов равна сумме: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$.
По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов $\overrightarrow{DA}$ и $\overrightarrow{AB}$ — это вектор, идущий из начальной точки первого вектора ($D$) в конечную точку второго вектора ($B$). Таким образом, $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB}$.
Итак, искомая величина — это длина вектора $\overrightarrow{DB}$, которая совпадает с длиной диагонали $DB$ прямоугольника $ABCD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DAB$. Угол $\angle A$ равен $90^\circ$, так как $ABCD$ — прямоугольник. Стороны $AB$ и $AD$ являются катетами этого треугольника, а диагональ $DB$ — его гипотенузой.
По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
$DB^2 = AB^2 + AD^2$
Подставим известные длины сторон:
$DB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
Найдем длину $DB$, извлекая квадратный корень:
$DB = \sqrt{100} = 10$
Следовательно, длина разности векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ равна 10.
Ответ: 10

4. Стороны AB и AD прямоугольника ABCD равны соответственно 6 и 8. Найдите длину суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. По условию, длины его сторон равны $|\overline{AB}| = 6$ и $|\overline{AD}| = 8$. Нам необходимо найти длину суммы векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$, то есть величину $|\overline{AB} + \overline{AC}|$.

Для решения задачи воспользуемся правилами действий с векторами. Вектор диагонали $\overline{AC}$ в прямоугольнике $ABCD$ можно представить как сумму векторов двух смежных сторон, выходящих из той же вершины:

$\overline{AC} = \overline{AB} + \overline{AD}$

Теперь подставим это выражение в сумму векторов, которую нам нужно найти:

$\overline{AB} + \overline{AC} = \overline{AB} + (\overline{AB} + \overline{AD}) = 2\overline{AB} + \overline{AD}$

Обозначим результирующий вектор как $\overline{S} = 2\overline{AB} + \overline{AD}$. Нам нужно найти его длину $|\overline{S}|$.

Так как $ABCD$ является прямоугольником, его смежные стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны. Это означает, что векторы $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$ ортогональны (угол между ними равен $90^\circ$). Вектор $2\overline{AB}$ сонаправлен с вектором $\overline{AB}$, поэтому он также перпендикулярен вектору $\overline{AD}$.

Длину суммы двух перпендикулярных векторов можно найти по теореме Пифагора. В нашем случае, квадрат длины вектора $\overline{S}$ будет равен сумме квадратов длин векторов $2\overline{AB}$ и $\overline{AD}$:

$|\overline{S}|^2 = |2\overline{AB}|^2 + |\overline{AD}|^2$

Вычислим длины этих векторов:

$|2\overline{AB}| = 2 \cdot |\overline{AB}| = 2 \cdot 6 = 12$

$|\overline{AD}| = 8$ (дано по условию).

Теперь подставим найденные значения в формулу:

$|\overline{S}|^2 = 12^2 + 8^2 = 144 + 64 = 208$

Чтобы найти длину вектора $\overline{S}$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$|\overline{S}| = \sqrt{208}$

Для упрощения ответа разложим число 208 на множители:

$208 = 16 \cdot 13$

Следовательно, длина вектора равна:

$|\overline{S}| = \sqrt{16 \cdot 13} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{13} = 4\sqrt{13}$

Ответ: $4\sqrt{13}$

5. Стороны $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ равны соответственно 6 и 8. Найдите длину разности векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$.

Дано: прямоугольник $ABCD$, сторона $AB = 6$, сторона $AD = 8$.

Найти: длину разности векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, то есть величину $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$.

Решение:

Разность векторов $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ можно найти по правилу вычитания векторов. Если два вектора выходят из одной точки (в нашем случае это точка $A$), то их разность — это вектор, который соединяет их концы. Причем этот вектор направлен от конца вычитаемого вектора (точка $C$) к концу уменьшаемого вектора (точка $B$).

Следовательно, результатом вычитания $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ является вектор $\overrightarrow{CB}$:

$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$

Длина разности векторов $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|$ равна длине (модулю) вектора $|\overrightarrow{CB}|$.

Длина вектора $\overrightarrow{CB}$ соответствует длине стороны $CB$ прямоугольника $ABCD$. В прямоугольнике противолежащие стороны равны, поэтому длина стороны $CB$ равна длине стороны $AD$.

По условию задачи, $AD = 8$. Значит, $CB = 8$.

Таким образом, $|\overrightarrow{CB}| = 8$.

Ответ: 8

6. Две стороны прямоугольника $ABCD$ равны 6 и 8. Найдите ска-
лярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Для решения этой задачи используется определение скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $,где $ |\vec{a}| $ и $ |\vec{b}| $ — это длины (модули) данных векторов, а $ \alpha $ — угол между ними.

В нашем случае даны векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{AD} $. Эти векторы соответствуют смежным сторонам прямоугольника $ABCD$. Их длины равны длинам сторон прямоугольника, то есть 6 и 8. Пусть длина стороны $AB$ равна 6, а длина стороны $AD$ равна 8. Тогда модули векторов будут:$ |\vec{AB}| = 6 $$ |\vec{AD}| = 8 $

Поскольку фигура $ABCD$ является прямоугольником, все его углы прямые. Угол между смежными сторонами $AB$ и $AD$ составляет $90^\circ$. Это означает, что угол $ \alpha $ между векторами $ \vec{AB} $ и $ \vec{AD} $, которые выходят из одной вершины $A$, равен $90^\circ$.

Теперь подставим все известные значения в формулу скалярного произведения:$ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(\alpha) = 6 \cdot 8 \cdot \cos(90^\circ) $.

Из тригонометрии известно, что косинус прямого угла равен нулю: $ \cos(90^\circ) = 0 $.Следовательно, вычисление даёт следующий результат:$ \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 6 \cdot 8 \cdot 0 = 0 $.

Таким образом, скалярное произведение векторов, соответствующих смежным сторонам прямоугольника, равно нулю, так как эти векторы перпендикулярны (ортогональны) друг другу.

Ответ: 0

7. Стороны $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ равны соответственно 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке $O$. Найдите длину суммы векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$.

По условию, $ABCD$ — прямоугольник, стороны которого $AB = 6$ и $AD = 8$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Нам нужно найти длину суммы векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$, то есть величину $|\vec{AO} + \vec{BO}|$.

В прямоугольнике, как и в любом параллелограмме, диагонали в точке пересечения делятся пополам. Точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Это означает, что векторы $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ равны, так как они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Таким образом, мы можем заменить вектор $\vec{BO}$ на равный ему вектор $\vec{OD}$.

Рассмотрим сумму векторов $\vec{AO} + \vec{BO}$. Сделаем замену $\vec{BO} = \vec{OD}$: $\vec{AO} + \vec{BO} = \vec{AO} + \vec{OD}$.

По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов, где конец одного является началом другого, равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго. В нашем случае: $\vec{AO} + \vec{OD} = \vec{AD}$.

Следовательно, искомая сумма векторов равна вектору $\vec{AD}$: $\vec{AO} + \vec{BO} = \vec{AD}$.

Теперь найдем длину (модуль) этой суммы векторов, которая будет равна длине вектора $\vec{AD}$: $|\vec{AO} + \vec{BO}| = |\vec{AD}|$.

Длина вектора $\vec{AD}$ равна длине стороны $AD$ прямоугольника. По условию, $AD = 8$. Таким образом, $|\vec{AD}| = 8$.

Ответ: 8

8. Стороны AB и AD прямоугольника ABCD равны соответственно 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$.

Требуется найти длину разности векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$, то есть найти значение выражения $|\vec{AO} - \vec{BO}|$.

По правилу вычитания векторов, разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ эквивалентна сумме вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$. В нашем случае, вектором, противоположным вектору $\vec{BO}$, является вектор $\vec{OB}$.

Таким образом, мы можем преобразовать выражение:

$\vec{AO} - \vec{BO} = \vec{AO} + \vec{OB}$

Далее, согласно правилу сложения векторов (правилу треугольника), сумма векторов $\vec{AO}$ и $\vec{OB}$ представляет собой вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора (точка A), а конец — с концом второго вектора (точка B).

Следовательно:

$\vec{AO} + \vec{OB} = \vec{AB}$

Таким образом, разность векторов $\vec{AO} - \vec{BO}$ равна вектору $\vec{AB}$.

Длина разности векторов равна длине (модулю) вектора $\vec{AB}$:

$|\vec{AO} - \vec{BO}| = |\vec{AB}|$

Длина вектора $\vec{AB}$ соответствует длине стороны $AB$ прямоугольника $ABCD$. Из условия задачи известно, что $AB = 6$.

Ответ: 6

9. Диагонали ромба $ABCD$ равны 12 и 16. Найдите длину вектора $\overline{AB}$.

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине стороны ромба $AB$. Найдем длину стороны ромба.

По условию, диагонали ромба $ABCD$ равны 12 и 16. Пусть диагональ $AC = 16$, а диагональ $BD = 12$.

Диагонали ромба обладают двумя важными свойствами: они взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.

Таким образом, диагонали делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник $AOB$. В этом треугольнике:

1. Угол $\angle AOB$ прямой, то есть равен $90^\circ$.

2. Катеты $AO$ и $BO$ равны половинам диагоналей:

$AO = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$BO = \frac{BD}{2} = \frac{12}{2} = 6$

3. Гипотенуза $AB$ является стороной ромба.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$AB^2 = AO^2 + BO^2$

Подставим известные значения длин катетов в формулу:

$AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

Отсюда находим длину стороны $AB$:

$AB = \sqrt{100} = 10$

Длина вектора $\vec{AB}$ совпадает с длиной отрезка $AB$.

Ответ: 10.

10. Диагонали $AC$ и $BD$ ромба $ABCD$ равны соответственно 12 и 16.

Найдите длину вектора $\overline{AB} + \overline{AD}$.

Поскольку $ABCD$ — ромб, он также является параллелограммом. Для сложения векторов, выходящих из одной точки, можно использовать правило параллелограмма. Согласно этому правилу, сумма векторов, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, равна вектору, соответствующему диагонали этого параллелограмма, выходящей из той же вершины.

В данном случае нам нужно найти сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Эти векторы представляют смежные стороны ромба, выходящие из вершины $A$. По правилу параллелограмма, их сумма равна вектору диагонали, выходящей из вершины $A$. Этой диагональю является $AC$.

Таким образом, мы можем записать векторное равенство: $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Нам нужно найти длину вектора $\vec{AB} + \vec{AD}$, то есть $|\vec{AB} + \vec{AD}|$. Исходя из равенства выше, длина этого вектора равна длине вектора $\vec{AC}$: $|\vec{AB} + \vec{AD}| = |\vec{AC}|$

Длина вектора $\vec{AC}$ — это просто длина отрезка $AC$. По условию задачи, длина диагонали $AC$ равна 12. Следовательно, $|\vec{AC}| = 12$.

Таким образом, длина искомого вектора равна 12. Длина второй диагонали ($BD = 16$) является избыточной информацией для решения этой задачи.

Ответ: 12

11. Диагонали AC и BD ромба ABCD равны соответственно 12 и 16.

Найдите длину вектора $\vec{AB} - \vec{AD}$.

Для нахождения длины вектора $\vec{AB} - \vec{AD}$ воспользуемся правилом вычитания векторов. Разность двух векторов, отложенных от одной точки (в нашем случае от точки A), представляет собой вектор, который соединяет конец вычитаемого вектора (D) с концом уменьшаемого вектора (B).

Таким образом, векторная разность $\vec{AB} - \vec{AD}$ равна вектору $\vec{DB}$.

Это можно также показать через правило сложения векторов (правило треугольника):

$\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$

Выразим из этого равенства вектор $\vec{DB}$:

$\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}$

Следовательно, задача сводится к нахождению длины вектора $\vec{DB}$. Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине отрезка $DB$, который является одной из диагоналей ромба $ABCD$.

По условию задачи, длина диагонали $BD$ равна 16. Длина диагонали $AC = 12$ является в данном случае избыточной информацией.

Таким образом, длина искомого вектора $|\vec{AB} - \vec{AD}| = |\vec{DB}| = DB = 16$.

Ответ: 16

12. Диагонали AC и BD ромба ABCD равны соответственно 12 и 16.

Найдите длину вектора $\vec{AB} - \vec{AC}$.

Согласно правилу вычитания векторов, разность векторов $\vec{AB} - \vec{AC}$ равна вектору $\vec{CB}$. Это можно увидеть из правила сложения векторов (правило треугольника): $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$, из которого следует, что $\vec{CB} = \vec{AB} - \vec{AC}$. Таким образом, задача заключается в нахождении длины вектора $\vec{CB}$, которая равна длине стороны $BC$ ромба $ABCD$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ буквой $O$. В результате ромб делится на четыре равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOC$. Его катеты $OB$ и $OC$ равны половинам диагоналей: $OC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ $OB = \frac{BD}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Сторона ромба $BC$ является гипотенузой в треугольнике $BOC$. Для нахождения ее длины применим теорему Пифагора: $BC^2 = OB^2 + OC^2$ $BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$ $BC = \sqrt{100} = 10$

Длина стороны ромба $BC$ равна 10. Следовательно, длина искомого вектора $|\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{CB}| = 10$.

Ответ: 10

13. Диагонали AC и BD ромба ABCD пересекаются в точке O и равны соответственно 12 и 16. Найдите длину вектора $\vec{AO} + \vec{BO}$.

13. По условию задачи дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Длины диагоналей равны $AC = 12$ и $BD = 16$. Требуется найти длину вектора $\vec{AO} + \vec{BO}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами диагоналей ромба:

1. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Из первого свойства следует, что точка $O$ является серединой каждой из диагоналей. Это позволяет нам найти длины отрезков $AO$ и $BO$, которые также являются длинами (модулями) векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$:

$|\vec{AO}| = AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$

$|\vec{BO}| = BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$

Так как точка $O$ — середина диагонали $BD$, то вектор, идущий из точки $B$ в точку $O$, равен вектору, идущему из точки $O$ в точку $D$. Таким образом, мы можем записать равенство векторов: $\vec{BO} = \vec{OD}$.

Теперь преобразуем искомую сумму векторов, заменив вектор $\vec{BO}$ на равный ему вектор $\vec{OD}$:

$\vec{AO} + \vec{BO} = \vec{AO} + \vec{OD}$

Согласно правилу треугольника (также известному как правило Шаля) для сложения векторов, сумма $\vec{AO} + \vec{OD}$ равна вектору $\vec{AD}$:

$\vec{AO} + \vec{OD} = \vec{AD}$

Это означает, что искомая длина суммы векторов равна длине вектора $\vec{AD}$, то есть длине стороны ромба $AD$:

$|\vec{AO} + \vec{BO}| = |\vec{AD}| = AD$

Чтобы найти длину стороны $AD$, рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Из второго свойства ромба мы знаем, что его диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$), следовательно, угол $\angle AOD$ прямой, и треугольник $\triangle AOD$ является прямоугольным. Его катеты — это $AO$ и $OD$. Мы уже знаем, что $AO = 6$. Длина катета $OD$ равна длине отрезка $BO$, так как $O$ — середина $BD$, поэтому $OD = BO = 8$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle AOD$:

$AD^2 = AO^2 + OD^2$

Подставим известные значения длин катетов:

$AD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

Отсюда находим длину стороны $AD$:

$AD = \sqrt{100} = 10$

Таким образом, длина вектора $\vec{AO} + \vec{BO}$ равна 10.

Ответ: 10

14. Диагонали AC и BD ромба ABCD пересекаются в точке O и равны соответственно 12 и 16. Найдите длину вектора $\vec{AO} - \vec{BO}$.

По условию задачи, $ABCD$ — ромб, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Длины диагоналей равны $AC = 12$ и $BD = 16$.

Необходимо найти длину вектора $\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BO}$.

1. Преобразование векторного выражения.
Вычитание вектора $\overrightarrow{BO}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\overrightarrow{OB}$. Таким образом, выражение можно переписать:$\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$.
Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OB}$ — это вектор, который начинается в начальной точке первого вектора ($A$) и заканчивается в конечной точке второго вектора ($B$).
Следовательно, $\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB}$.
Таким образом, задача сводится к нахождению длины вектора $\overrightarrow{AB}$, что равно длине стороны ромба $AB$.

2. Нахождение длины стороны ромба.
Диагонали ромба обладают двумя важными свойствами:

• Они пересекаются под прямым углом. Значит, $\angle AOB = 90^\circ$, и треугольник $AOB$ является прямоугольным.
• В точке пересечения они делятся пополам.

Ответ: 10

15. Диагонали $AC$ и $BD$ ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и равны соответственно 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$.

Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$ используется формула:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

Рассмотрим ромб $ABCD$. По свойствам ромба, его диагонали $AC$ и $BD$ в точке пересечения $O$ делятся пополам и являются взаимно перпендикулярными.

1. Найдем длины векторов $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$. Длина вектора равна длине соответствующего отрезка. Так как диагонали делятся точкой пересечения пополам, имеем:
$|\vec{AO}| = AO = \frac{1}{2} AC$
По условию задачи $AC = 12$, следовательно:
$|\vec{AO}| = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$.
Аналогично для вектора $\vec{BO}$:
$|\vec{BO}| = BO = \frac{1}{2} BD$
По условию задачи $BD = 16$, следовательно:
$|\vec{BO}| = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.

2. Найдем угол $\alpha$ между векторами $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$.
Вектор $\vec{AO}$ лежит на прямой $AC$, а вектор $\vec{BO}$ лежит на прямой $BD$.
Поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$), то и векторы, лежащие на этих прямых, также перпендикулярны.
Следовательно, угол $\alpha$ между векторами $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$ равен $90^\circ$.

3. Вычислим скалярное произведение.
Подставим найденные значения в формулу:
$\vec{AO} \cdot \vec{BO} = |\vec{AO}| \cdot |\vec{BO}| \cdot \cos(\alpha) = 6 \cdot 8 \cdot \cos(90^\circ)$
Мы знаем, что $\cos(90^\circ) = 0$.
$\vec{AO} \cdot \vec{BO} = 6 \cdot 8 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0$