Страница 149 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Определите вид треугольника, если центр описанной около него окружности находится на одной из его сторон:

А) равносторонний;
В) остроугольный;
С) прямоугольный;
D) тупоугольный;

2. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит внутри него. Определите вид треугольника:

А) остроугольный;
В) прямоугольный;
С) тупоугольный;
D) нельзя определить.

3. Во сколько раз радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, больше радиуса вписанной в этот треугольник окружности:

А) в 2 раза;
В) в 3 раза;
С) в 4 раза;
D) в 6 раз?

4. Около четырехугольника $ABCD$ описана окружность. Его углы $A, B, C$ относятся как $1 : 2 : 3$. Найдите угол $D$:

А) $30^\circ$;
В) $45^\circ$;
С) $60^\circ$;
D) $90^\circ$.

5. В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность, $AB = 11$ см, $CD = 17$ см. Найдите периметр четырехугольника:

А) 14 см;
В) 28 см;
С) 40 см;
D) 56 см.

6. Меньшая сторона прямоугольника равна 3,6 см. Угол между диагоналями $120^\circ$. Найдите диаметр описанной окружности:

А) 1,8 см;
В) 3,6 см;
С) 7,2 см;
D) 14,4 см.

7. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб со стороной 12 см и углом $30^\circ$:

А) 3 см;
В) 4 см;
С) 6 см;
D) 8 см.

8. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 20 см, ее большая боковая сторона равна 6 см. Найдите радиус окружности:

А) 2 см;
В) 4 см;
С) 10 см;
D) 14 см.

9. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 36 см. Найдите диаметр окружности:

А) 6 см;
В) 9 см;
С) 12 см;
D) 18 см.

10. Угол между стороной правильного $n$-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в один из концов этой стороны, равен $70^\circ$. Найдите $n$:

А) 6;
В) 8;
С) 9;
D) 12.

11. Найдите площадь круга, диаметр которого равен 4 см:

А) $\pi$ см$^2$;
В) $2\pi$ см$^2$;
С) $4\pi$ см$^2$;
D) $16\pi$ см$^2$.

12. Найдите радиус круга, если его площадь равна $45\pi$ дм$^2$:

А) 9 дм;
В) 22,5 дм;
С) $9\sqrt{5}$ дм;
D) $3\sqrt{5}$ дм.

13. Найдите диаметр круга, площадь которого равнялась бы сумме площадей двух кругов радиусами 4 см и 3 см:

А) 5 см;
В) 6 см;
С) 8 см;
D) 10 см.

14. Радиус окружности разделен пополам, и через точку деления проведена окружность, концентрическая данной окружности. Найдите отношение площадей соответствующих кругов:

А) 1 : 2;
В) 1 : 3;
С) 1 : 4;
D) 2 : 3.

15. Найдите площадь круга, описанного около равностороннего треугольника со стороной 3 см:

А) $2\pi$ см$^2$;
В) $3\pi$ см$^2$;
С) $4,5\pi$ см$^2$;
D) $9\pi$ см$^2$.

16. Найдите площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной, равной 6 см:

А) $\pi$ см$^2$;
В) $2\pi$ см$^2$;
С) $3\pi$ см$^2$;
D) $\frac{1}{2}\pi$ см$^2$.

17. Найдите отношение площадей кругов, вписанного и описанного около единичного квадрата:

А) $1 : 2$;
В) $1 : 4$;
С) $1 : \sqrt{2}$;
D) $\sqrt{2} : 2$.

18. Найдите отношение площадей правильных шестиугольников, один из которых вписан, а другой описан около данной окружности:

А) $1 : 2$;
В) $3 : 4$;
С) $1 : 6$;
D) $2 : 3$.

19. Найдите площадь сектора, лежащего внутри центрального угла в $45^\circ$, если радиус круга равен 8 дм:

А) $4\pi$ дм$^2$;
В) $8\pi$ дм$^2$;
С) $16\pi$ дм$^2$;
D) $64\pi$ дм$^2$.

20. Сколько градусов содержит центральный угол сектора, если он составляет $\frac{4}{15}$ площади круга:

А) $24^\circ$;
В) $48^\circ$;
С) $90^\circ$;
D) $96^\circ$?

1. Если центр описанной около треугольника окружности находится на одной из его сторон, то эта сторона является диаметром данной окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым (равен $90^\circ$). Следовательно, треугольник, содержащий такой угол, является прямоугольным. Ответ: C) прямоугольный

2. Центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис его углов. Точка пересечения биссектрис всегда лежит внутри треугольника, независимо от его вида (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный). Поэтому на основании данной информации определить вид треугольника невозможно. Ответ: D) нельзя определить

3. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, а радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Найдем отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной: $\frac{R}{r} = \frac{a/\sqrt{3}}{a/(2\sqrt{3})} = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{a} = 2$. Таким образом, радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной. Ответ: A) в 2 раза

4. У четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противолежащих углов равна $180^\circ$. Пусть углы $A$, $B$ и $C$ относятся как $1:2:3$, тогда $\angle A = x$, $\angle B = 2x$, $\angle C = 3x$. Так как $\angle A + \angle C = 180^\circ$, имеем $x + 3x = 180^\circ$, откуда $4x = 180^\circ$ и $x = 45^\circ$. Тогда $\angle B = 2x = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$. Так как $\angle B + \angle D = 180^\circ$, то $\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Ответ: D) 90°

5. Для четырехугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противолежащих сторон равны (теорема Пито): $AB + CD = BC + AD$. Периметр четырехугольника $P = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (BC + AD)$. Используя свойство описанного четырехугольника, получаем $P = 2(AB + CD)$. Подставим известные значения: $AB = 11$ см, $CD = 17$ см. $P = 2(11 + 17) = 2 \cdot 28 = 56$ см. Ответ: D) 56 см

6. Диаметр окружности, описанной около прямоугольника, равен его диагонали. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Угол между диагоналями, противолежащий меньшей стороне, является меньшим из двух смежных углов, образованных диагоналями, то есть $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной и двумя половинами диагоналей. Этот треугольник равнобедренный с углом при вершине $60^\circ$, а значит, он равносторонний. Следовательно, половина диагонали равна меньшей стороне, то есть $3,6$ см. Тогда вся диагональ равна $2 \cdot 3,6 = 7,2$ см. Ответ: C) 7,2 см

7. Диаметр вписанной в ромб окружности равен высоте ромба $h$. Высота ромба вычисляется по формуле $h = a \cdot \sin \alpha$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — его угол. При $a=12$ см и $\alpha=30^\circ$ имеем $h = 12 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см. Радиус вписанной окружности $r$ равен половине высоты: $r = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. Ответ: A) 3 см

8. В описанной около окружности трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон. Для прямоугольной трапеции одна из боковых сторон является высотой $h$. Периметр $P = 20$ см, большая боковая сторона $c = 6$ см. Сумма боковых сторон равна $h+c = h+6$. Сумма оснований также равна $h+6$. Периметр $P = (h+6) + (h+6) = 2(h+6)$. $20 = 2(h+6)$, откуда $h+6 = 10$ и $h=4$ см. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, $2r=h=4$ см. Следовательно, радиус $r=2$ см. Ответ: A) 2 см

9. Периметр правильного шестиугольника со стороной $a$ равен $P = 6a$. Из условия $36 = 6a$, находим сторону $a = 6$ см. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности, $a = R$. Значит, $R = 6$ см. Диаметр окружности $D = 2R = 2 \cdot 6 = 12$ см. Ответ: C) 12 см

10. Треугольник, образованный стороной правильного n-угольника и двумя радиусами, проведенными к ее вершинам, является равнобедренным. Углы при основании этого треугольника равны, и по условию они составляют $70^\circ$. Тогда центральный угол, являющийся углом при вершине этого треугольника, равен $180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 40^\circ$. Центральный угол правильного n-угольника вычисляется по формуле $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$. Отсюда $n = \frac{360^\circ}{\alpha} = \frac{360^\circ}{40^\circ} = 9$. Ответ: C) 9

11. Диаметр круга $D = 4$ см, значит, его радиус $R = D/2 = 2$ см. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. $S = \pi \cdot (2)^2 = 4\pi$ см². Ответ: C) 4π см²

12. Площадь круга $S = \pi R^2$. По условию $S = 45\pi$ дм². Тогда $\pi R^2 = 45\pi$, откуда $R^2 = 45$. Радиус $R = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ дм. Ответ: D) $3\sqrt{5}$ дм

13. Пусть $R_1=4$ см и $R_2=3$ см. Площади этих кругов $S_1 = \pi R_1^2 = 16\pi$ см² и $S_2 = \pi R_2^2 = 9\pi$ см². Суммарная площадь $S = S_1 + S_2 = 16\pi + 9\pi = 25\pi$ см². Площадь искомого круга $S = \pi R^2 = 25\pi$, откуда его радиус $R = \sqrt{25} = 5$ см. Диаметр этого круга $D = 2R = 2 \cdot 5 = 10$ см. Ответ: D) 10 см

14. Пусть радиус исходной окружности равен $R_{большой}$. Тогда радиус меньшей окружности $R_{малый} = R_{большой}/2$. Площадь большего круга $S_{большой} = \pi R_{большой}^2$. Площадь меньшего круга $S_{малый} = \pi R_{малый}^2 = \pi (R_{большой}/2)^2 = \frac{\pi R_{большой}^2}{4}$. Отношение площадей меньшего к большему: $\frac{S_{малый}}{S_{большой}} = \frac{\pi R_{большой}^2 / 4}{\pi R_{большой}^2} = \frac{1}{4}$. Отношение равно 1 : 4. Ответ: C) 1 : 4

15. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. При $a=3$ см, $R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см. Площадь описанного круга $S = \pi R^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi$ см². Ответ: B) 3π см²

16. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. При $a=6$ см, $r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см. Площадь вписанного круга $S = \pi r^2 = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi$ см². Ответ: C) 3π см²

17. Для единичного квадрата (сторона $a=1$) радиус вписанного круга $r = a/2 = 1/2$. Радиус описанного круга $R$ равен половине диагонали, $R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Площадь вписанного круга $S_{впис} = \pi r^2 = \pi(1/2)^2 = \pi/4$. Площадь описанного круга $S_{опис} = \pi R^2 = \pi(\sqrt{2}/2)^2 = 2\pi/4 = \pi/2$. Отношение площадей $\frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{\pi/4}{\pi/2} = \frac{1}{2}$. Отношение равно 1 : 2. Ответ: A) 1 : 2

18. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Правильные шестиугольники подобны. Коэффициент подобия можно найти как отношение их сторон. Для окружности радиуса $R$ сторона вписанного шестиугольника $a_{впис} = R$, а сторона описанного $a_{опис} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$. Отношение сторон $\frac{a_{впис}}{a_{опис}} = \frac{R}{2R/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда отношение площадей $\frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$. Отношение равно 3 : 4. Ответ: B) 3 : 4

19. Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$. При $R=8$ дм и $\alpha=45^\circ$, получаем $S_{сект} = \frac{\pi \cdot 8^2 \cdot 45^\circ}{360^\circ} = \frac{64\pi}{8} = 8\pi$ дм². Ответ: B) 8π дм²

20. Отношение площади сектора к площади круга равно отношению его центрального угла к полному углу в $360^\circ$. $\frac{S_{сект}}{S_{круга}} = \frac{\alpha}{360^\circ}$. По условию это отношение равно $\frac{4}{15}$. Следовательно, $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{4}{15}$. Отсюда центральный угол $\alpha = \frac{4}{15} \cdot 360^\circ = 4 \cdot 24^\circ = 96^\circ$. Ответ: D) 96°