Страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

58. Стороны треугольника равны 5 см, 8 см и 10 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, если коэффициент подобия равен:

а) $ \frac{1}{2} $;

б) 2.

По определению подобных треугольников, отношение соответственных сторон равно коэффициенту подобия $k$. Пусть стороны данного треугольника $a_1 = 5$ см, $b_1 = 8$ см и $c_1 = 10$ см. Тогда стороны подобного ему треугольника $a_2, b_2, c_2$ можно найти, умножив каждую сторону исходного треугольника на коэффициент подобия $k$.

а) Если коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Найдем стороны подобного треугольника:

$a_2 = a_1 \cdot k = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2,5$ см.

$b_2 = b_1 \cdot k = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

$c_2 = c_1 \cdot k = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Ответ: 2,5 см, 4 см, 5 см.

б) Если коэффициент подобия $k = 2$.

Найдем стороны подобного треугольника:

$a_2 = a_1 \cdot k = 5 \cdot 2 = 10$ см.

$b_2 = b_1 \cdot k = 8 \cdot 2 = 16$ см.

$c_2 = c_1 \cdot k = 10 \cdot 2 = 20$ см.

Ответ: 10 см, 16 см, 20 см.

59. Два треугольника подобны. Два угла одного треугольника равны $55^\circ$ и $80^\circ$. Найдите наименьший угол второго треугольника.

По определению, у подобных треугольников соответствующие углы равны. Это означает, что набор углов у обоих треугольников одинаков.

Сначала найдем все углы первого треугольника. Нам даны два угла: $55^\circ$ и $80^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поэтому третий угол первого треугольника можно вычислить следующим образом:

$180^\circ - (55^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Таким образом, углы первого треугольника равны $45^\circ$, $55^\circ$ и $80^\circ$.

Так как второй треугольник подобен первому, его углы будут такими же: $45^\circ$, $55^\circ$ и $80^\circ$.

Теперь нужно найти наименьший из этих углов. Сравнивая три значения, видим, что наименьшим является угол $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

60. В подобных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AB = 8 \text{ см}$, $BC = 10 \text{ см}$, $A_1B_1 = 5,6 \text{ см}$, $A_1C_1 = 10,5 \text{ см}$. Найдите $AC$ и $B_1C_1$.

Поскольку треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $), то отношение их соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$:

$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $

Сначала найдем коэффициент подобия $k$, используя известные длины сторон $AB$ и $A_1B_1$:

$ k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{8}{5,6} = \frac{80}{56} = \frac{10}{7} $

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти неизвестные стороны.

AC

Для нахождения стороны $AC$ воспользуемся соотношением $ \frac{AC}{A_1C_1} = k $. Подставим известные значения $A_1C_1 = 10,5$ см и вычисленный коэффициент подобия $k = \frac{10}{7}$:

$ \frac{AC}{10,5} = \frac{10}{7} $

Отсюда выражаем и вычисляем $AC$:

$ AC = 10,5 \times \frac{10}{7} = \frac{105}{7} = 15 $ см.

Ответ: $AC = 15$ см.

B₁C₁

Для нахождения стороны $B_1C_1$ воспользуемся соотношением $ \frac{BC}{B_1C_1} = k $. Подставим известные значения $BC = 10$ см и $k = \frac{10}{7}$:

$ \frac{10}{B_1C_1} = \frac{10}{7} $

Так как в данной пропорции числители равны ($10 = 10$), то и знаменатели должны быть равны. Следовательно:

$ B_1C_1 = 7 $ см.

Ответ: $B_1C_1 = 7$ см.

61. У треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $AB = 5$ м, $BC = 7$ м, $A_1B_1 = 10$ м, $A_1C_1 = 8$ м. Найдите остальные стороны треугольников.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию задачи известно, что $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Согласно первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны. Отношение длин соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$:$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $$

Найдем коэффициент подобия, используя известные длины сторон $AB$ и $A_1B_1$:$$ k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{5 \text{ м}}{10 \text{ м}} = \frac{1}{2} $$

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти длины остальных сторон.

Для нахождения стороны $AC$ треугольника $ABC$ воспользуемся соотношением:$$ \frac{AC}{A_1C_1} = k $$Подставим известные значения $A_1C_1 = 8$ м и $k = 1/2$:$$ \frac{AC}{8} = \frac{1}{2} $$Отсюда находим $AC$:$$ AC = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ м} $$

Для нахождения стороны $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ воспользуемся соотношением:$$ \frac{BC}{B_1C_1} = k $$Подставим известные значения $BC = 7$ м и $k = 1/2$:$$ \frac{7}{B_1C_1} = \frac{1}{2} $$Отсюда находим $B_1C_1$:$$ B_1C_1 = 7 \cdot 2 = 14 \text{ м} $$

Ответ: $AC = 4$ м, $B_1C_1 = 14$ м.

62. Стороны треугольника относятся как $5 : 3 : 6$. Найдите стороны подобного ему треугольника, у которого:

a) периметр равен 28 см;

б) большая сторона равна 24 см.

Поскольку искомый треугольник подобен треугольнику, стороны которого относятся как $5:3:6$, то его стороны также будут находиться в этом же отношении. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$. Тогда стороны искомого треугольника будут равны $5x$, $3x$ и $6x$.

а) Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 28 см. Составим и решим уравнение:
$5x + 3x + 6x = 28$
$14x = 28$
$x = \frac{28}{14}$
$x = 2$
Теперь найдем длины сторон треугольника, подставив найденное значение $x$ в выражения для сторон:
Первая сторона: $5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.
Вторая сторона: $3x = 3 \cdot 2 = 6$ см.
Третья сторона: $6x = 6 \cdot 2 = 12$ см.
Проверка: $10 + 6 + 12 = 28$ см.
Ответ: 10 см, 6 см, 12 см.

б) Из соотношения сторон $5:3:6$ следует, что наибольшая сторона соответствует наибольшему числу в отношении, то есть 6. Таким образом, длина большей стороны равна $6x$. По условию, она равна 24 см. Составим и решим уравнение:
$6x = 24$
$x = \frac{24}{6}$
$x = 4$
Теперь найдем длины всех сторон треугольника:
Первая сторона: $5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.
Вторая сторона: $3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.
Третья (большая) сторона: $6x = 6 \cdot 4 = 24$ см.
Проверка: отношение сторон $20:12:24$ после сокращения на 4 дает $5:3:6$.
Ответ: 20 см, 12 см, 24 см.

63. Докажите, что равнобедренные треугольники подобны, если углы при их вершинах, противолежащих основаниям, равны.

Пусть даны два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны ($AB = BC$ и $A_1B_1 = B_1C_1$), а также равны углы при основании. Следовательно, в $\triangle ABC$ имеем $\angle A = \angle C$, а в $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $\angle A_1 = \angle C_1$.

По условию задачи, углы при вершинах, противолежащих основаниям, равны. Обозначим их как $\angle B = \angle B_1$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Сумма его углов равна $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Так как $\angle A = \angle C$, мы можем записать это как $2\angle A + \angle B = 180^\circ$. Отсюда можем выразить угол при основании:
$\angle A = \frac{180^\circ - \angle B}{2}$

Аналогично для $\triangle A_1B_1C_1$. Сумма его углов $\angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ$. Так как $\angle A_1 = \angle C_1$, получаем $2\angle A_1 + \angle B_1 = 180^\circ$. Выразим угол при основании:
$\angle A_1 = \frac{180^\circ - \angle B_1}{2}$

Поскольку по условию $\angle B = \angle B_1$, правые части выражений для $\angle A$ и $\angle A_1$ равны. Следовательно, равны и левые части: $\angle A = \angle A_1$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ есть две пары соответственно равных углов:
1. $\angle B = \angle B_1$ (по условию).
2. $\angle A = \angle A_1$ (по доказанному).

Согласно первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как углы при вершинах, противолежащих основаниям, у двух равнобедренных треугольников равны, то и их углы при основаниях также будут равны между собой ($\angle A = \angle A_1 = \frac{180^\circ - \angle B}{2}$). Таким образом, треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум равным углам).

64. Докажите, что два прямоугольных треугольника подобны, если у них есть по равному острому углу.

65. Докажите, что два прямоугольных треугольника подобны, если

Дано:
$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольные треугольники.
$\angle C = 90^\circ$, $\angle C_1 = 90^\circ$.
У треугольников есть по равному острому углу, пусть $\angle A = \angle A_1$.

Доказать:
$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:
Для доказательства подобия двух треугольников можно использовать первый признак подобия треугольников (по двум углам). Согласно этому признаку, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
1. По условию оба треугольника являются прямоугольными, это означает, что у каждого из них есть прямой угол.
$\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.
Это первая пара равных углов.
2. Также по условию у этих треугольников есть по равному острому углу.
$\angle A = \angle A_1$.
Это вторая пара равных углов.
Так как два угла треугольника $\triangle ABC$ (а именно $\angle A$ и $\angle C$) соответственно равны двум углам треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ ($\angle A_1$ и $\angle C_1$), то по первому признаку подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
Что и требовалось доказать.

Ответ:Утверждение доказано. Два прямоугольных треугольника будут подобны, если у них есть по равному острому углу. Это следует из первого признака подобия треугольников (по двум углам), так как у обоих треугольников один угол прямой ($90^\circ$), а второй острый угол равен по условию.

65. Докажите, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $\angle C$ — прямой, то есть $\angle C = 90^\circ$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. По определению высоты, $CH \perp AB$, следовательно, углы $\angle CHA$ и $\angle CHB$ являются прямыми, то есть $\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$. Высота $CH$ разбивает исходный треугольник $ABC$ на два новых треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$. Докажем, что каждый из этих треугольников подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$.

Сначала рассмотрим треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$. У них есть общий острый угол $\angle A$. Кроме того, в каждом из этих треугольников есть прямой угол: $\angle AHC = 90^\circ$ в $\triangle ACH$ и $\angle ACB = 90^\circ$ в $\triangle ABC$. Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle A$ — общий, $\angle AHC = \angle ACB = 90^\circ$), то треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$. У них есть общий острый угол $\angle B$. Также в каждом из них есть прямой угол: $\angle CHB = 90^\circ$ в $\triangle CBH$ и $\angle ACB = 90^\circ$ в $\triangle ABC$. Следовательно, по первому признаку подобия треугольников (по двум углам), треугольник $\triangle CBH$ подобен треугольнику $\triangle ABC$.

Таким образом, высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, действительно разбивает его на два треугольника, каждый из которых подобен исходному. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ и высоту $CH$, проведенную к гипотенузе $AB$. В треугольниках $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$ угол $\angle A$ — общий, а $\angle AHC = \angle ACB = 90^\circ$, следовательно, $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ по двум углам. В треугольниках $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$ угол $\angle B$ — общий, а $\angle CHB = \angle ACB = 90^\circ$, следовательно, $\triangle CBH \sim \triangle ABC$ по двум углам.

66. У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны соответственно 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.

Пусть даны два равнобедренных треугольника. Обозначим первый треугольник как $\triangle ABC$ и второй как $\triangle A'B'C'$.

Согласно условию, для первого треугольника $\triangle ABC$ боковые стороны равны $AB = AC = 17$ см, а основание $BC = 10$ см.

Для второго треугольника $\triangle A'B'C'$ известно основание $B'C' = 8$ см. Его боковые стороны $A'B' = A'C'$ необходимо найти. Обозначим их длину через $x$.

В задаче сказано, что углы между боковыми сторонами (углы при вершине, противолежащие основанию) у этих треугольников равны. То есть, $\angle BAC = \angle B'A'C'$.

Так как оба треугольника являются равнобедренными, углы при их основании равны. Величину этих углов можно найти, зная угол при вершине.
Для $\triangle ABC$: $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2}$.
Для $\triangle A'B'C'$: $\angle A'B'C' = \angle A'C'B' = \frac{180^\circ - \angle B'A'C'}{2}$.

Поскольку $\angle BAC = \angle B'A'C'$, то из приведенных выше формул следует, что и углы при основании у этих треугольников также соответственно равны: $\angle ABC = \angle A'B'C'$ и $\angle ACB = \angle A'C'B'$.

Два треугольника, у которых соответственные углы равны, являются подобными (по первому признаку подобия треугольников — по двум углам). Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$.

У подобных треугольников отношения длин соответственных сторон равны. Это означает, что отношение боковой стороны первого треугольника к боковой стороне второго равно отношению основания первого треугольника к основанию второго.

Составим пропорцию:

$\frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$

Подставим известные значения в данную пропорцию:

$\frac{17}{x} = \frac{10}{8}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$10 \cdot x = 17 \cdot 8$

$10x = 136$

$x = \frac{136}{10}$

$x = 13,6$

Таким образом, длина боковой стороны второго треугольника составляет 13,6 см.

Ответ: 13,6 см.

67. Катеты одного неравнобедренного прямоугольного треугольника на 3 см больше катетов другого прямоугольного треугольника.

Подобны ли треугольники?

68.

Обозначим катеты первого прямоугольного треугольника как $a$ и $b$. По условию, треугольник является неравнобедренным, что означает $a \neq b$. Соответствующие катеты второго прямоугольного треугольника будут равны $a+3$ и $b+3$.

Два прямоугольных треугольника подобны, если их катеты пропорциональны. Если предположить, что данные треугольники подобны, то должно выполняться равенство отношений их соответствующих катетов: $ \frac{a+3}{a} = \frac{b+3}{b} $

Упростим это выражение, разделив почленно числитель на знаменатель в каждой части: $ \frac{a}{a} + \frac{3}{a} = \frac{b}{b} + \frac{3}{b} $ $ 1 + \frac{3}{a} = 1 + \frac{3}{b} $

Вычтем 1 из обеих частей уравнения: $ \frac{3}{a} = \frac{3}{b} $ Из этого равенства следует, что $a=b$.

Полученный результат ($a=b$) противоречит исходному условию задачи о том, что первый треугольник — неравнобедренный ($a \neq b$). Следовательно, наше предположение о подобии треугольников было неверным.

Ответ: Нет, треугольники не подобны.

68. В треугольнике $ABC$ проведены его средние линии $DE$, $EG$ и $DG$, параллельные сторонам соответственно $AB$, $BC$ и $AC$. Среди всех образовавшихся треугольников укажите подобные.

Пусть дан треугольник $ABC$. В нем проведены средние линии $DE$, $EG$ и $DG$. Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Три средние линии образуют треугольник, вершины которого являются серединами сторон исходного треугольника. Обозначим точки $D$, $E$ и $G$ как середины сторон треугольника $ABC$.

В условии задачи указано, что:

1. Средняя линия $DE$ параллельна стороне $AB$.

2. Средняя линия $EG$ параллельна стороне $BC$.

3. Средняя линия $DG$ параллельна стороне $AC$.

По свойству средней линии, линия, соединяющая середины сторон $AC$ и $BC$, параллельна стороне $AB$. Из условия (1) следует, что точки $D$ и $E$ являются серединами сторон $AC$ и $BC$ (в каком-то порядке).

Аналогично, из условия (2) следует, что $E$ и $G$ — середины сторон $AB$ и $AC$.

Из условия (3) следует, что $D$ и $G$ — середины сторон $AB$ и $BC$.

Сопоставив эти условия, мы можем однозначно определить расположение точек:

- Точка $E$ является общей для пар $(D, E)$ и $(E, G)$, а соответствующие им стороны — $BC$ и $AB$ (с общей стороной $AC$). Следовательно, $E$ — середина стороны $AC$.

- Раз $E$ — середина $AC$, то из (1) следует, что $D$ — середина $BC$.

- Раз $E$ — середина $AC$, то из (2) следует, что $G$ — середина $AB$.

Проверим условие (3): $D$ — середина $BC$, $G$ — середина $AB$. Средняя линия $DG$ действительно параллельна стороне $AC$. Все условия выполняются.

Таким образом, точки $D$, $E$, $G$ — это середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.

Проведенные средние линии делят треугольник $ABC$ на четыре меньших треугольника:

- $\triangle AGE$ (у вершины $A$)

- $\triangle GBD$ (у вершины $B$)

- $\triangle EDC$ (у вершины $C$)

- $\triangle GDE$ (центральный треугольник)

Найдем подобные среди этих четырех треугольников. Для этого сравним каждый из них с исходным треугольником $ABC$.

1. Треугольник $AGE$ и треугольник $ABC$:

Точка $G$ — середина $AB$, значит $AG = \frac{1}{2}AB$.Точка $E$ — середина $AC$, значит $AE = \frac{1}{2}AC$.Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle AGE \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

2. Треугольник $GBD$ и треугольник $ABC$:

Точка $G$ — середина $AB$, значит $GB = \frac{1}{2}AB$.Точка $D$ — середина $BC$, значит $BD = \frac{1}{2}BC$.Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.Следовательно, по второму признаку подобия, $\triangle GBD \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

3. Треугольник $EDC$ и треугольник $ABC$:

Точка $E$ — середина $AC$, значит $EC = \frac{1}{2}AC$.Точка $D$ — середина $BC$, значит $DC = \frac{1}{2}BC$.Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.Следовательно, по второму признаку подобия, $\triangle EDC \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

4. Треугольник $GDE$ и треугольник $ABC$:

Найдем длины сторон треугольника $GDE$ по свойству средней линии:

- $DE$ — средняя линия, соединяющая середины $BC$ и $AC$, значит $DE = \frac{1}{2}AB$.

- $EG$ — средняя линия, соединяющая середины $AC$ и $AB$, значит $EG = \frac{1}{2}BC$.

- $GD$ — средняя линия, соединяющая середины $AB$ и $BC$, значит $GD = \frac{1}{2}AC$.

Найдем отношения соответствующих сторон треугольников $GDE$ и $ABC$:

$\frac{DE}{AB} = \frac{1}{2}$, $\frac{EG}{BC} = \frac{1}{2}$, $\frac{GD}{AC} = \frac{1}{2}$.

Так как все три отношения равны, то по третьему признаку подобия треугольников (по трем пропорциональным сторонам), $\triangle GDE \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Поскольку все четыре образовавшихся треугольника ($\triangle AGE$, $\triangle GBD$, $\triangle EDC$ и $\triangle GDE$) подобны одному и тому же треугольнику $ABC$, то по свойству транзитивности подобия они все подобны друг другу.

Ответ: Все четыре треугольника, образовавшиеся в результате проведения средних линий ($\triangle AGE$, $\triangle GBD$, $\triangle EDC$ и $\triangle GDE$), подобны друг другу, а также подобны исходному треугольнику $\triangle ABC$.

69. Стороны одного треугольника равны 8 см, 6 см и 5 см. Меньшая сторона второго треугольника, подобного первому, равна 2,5 см. Найдите другие стороны второго треугольника.

Пусть стороны первого треугольника равны $a_1 = 8$ см, $b_1 = 6$ см и $c_1 = 5$ см.

Пусть стороны второго, подобного ему, треугольника равны $a_2$, $b_2$ и $c_2$.

Поскольку треугольники подобны, отношение их соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$: $ \frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k $

Меньшая сторона первого треугольника - это $c_1 = 5$ см. По условию, меньшая сторона второго треугольника равна 2,5 см. В подобных треугольниках наименьшие стороны являются соответственными, поэтому $c_2 = 2,5$ см.

Найдем коэффициент подобия $k$, используя отношение известных соответственных сторон: $ k = \frac{c_2}{c_1} = \frac{2,5}{5} = 0,5 $

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти длины двух других сторон второго треугольника. Они будут соответствовать сторонам $a_1=8$ см и $b_1=6$ см первого треугольника.

Найдем сторону $a_2$: $ a_2 = a_1 \cdot k = 8 \cdot 0,5 = 4 $ см.

Найдем сторону $b_2$: $ b_2 = b_1 \cdot k = 6 \cdot 0,5 = 3 $ см.

Ответ: другие стороны второго треугольника равны 4 см и 3 см.

70. Стороны треугольника 6 м, 8 м и 9 м. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его меньшая сторона равна большей стороне данного треугольника.

Пусть стороны данного треугольника равны $a_1 = 6$ м, $b_1 = 8$ м и $c_1 = 9$ м. Упорядочим их по возрастанию: 6, 8, 9. Наименьшая сторона равна 6 м, а наибольшая — 9 м.

Пусть стороны подобного ему треугольника равны $a_2$, $b_2$ и $c_2$, где $a_2$ — наименьшая сторона, а $c_2$ — наибольшая. Поскольку треугольники подобны, их соответственные стороны пропорциональны.

По условию задачи, меньшая сторона нового треугольника ($a_2$) равна большей стороне данного треугольника ($c_1$). Таким образом, $a_2 = c_1 = 9$ м.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон. В данном случае наименьшая сторона нового треугольника ($a_2$) соответствует наименьшей стороне исходного треугольника ($a_1$).

Найдем коэффициент подобия:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь найдем две другие стороны нового треугольника, умножив соответствующие стороны исходного треугольника на коэффициент подобия $k$:

$b_2 = b_1 \cdot k = 8 \cdot 1.5 = 12$ м.

$c_2 = c_1 \cdot k = 9 \cdot 1.5 = 13.5$ м.

Следовательно, стороны искомого треугольника равны 9 м, 12 м и 13.5 м.

Ответ: 9 м, 12 м, 13.5 м.

1. В треугольнике $ABC$ $AB = 9$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$. Найдите сторону $BC$.

1. Для нахождения стороны $BC$ треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равно для всех сторон.
Формула теоремы синусов: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $
В нашем случае, сторона $BC$ противолежит углу $A$, а сторона $AB$ противолежит углу $C$. Таким образом, мы можем записать соотношение:
$ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $
Нам известны следующие значения: $AB = 9$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$.
Подставим эти значения в уравнение:
$ \frac{BC}{\sin(45^\circ)} = \frac{9}{\sin(60^\circ)} $
Теперь выразим сторону $BC$:
$ BC = \frac{9 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(60^\circ)} $
Значения синусов для углов $45^\circ$ и $60^\circ$ являются стандартными тригонометрическими величинами:
$ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Подставим эти значения в формулу для $BC$:
$ BC = \frac{9 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $
Упростим выражение. Можно сократить множитель $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе:
$ BC = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $
Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$ BC = \frac{9\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{6}}{3} $
Сократим полученную дробь:
$ BC = 3\sqrt{6} $
Ответ: $3\sqrt{6}$.

2. В треугольнике ABC $AB = 6 \text{ см}$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 120^\circ$. Найдите сторону $BC$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

В нашем треугольнике ABC даны:

- сторона $AB = 6$ см (эта сторона лежит напротив угла $C$);

- угол $A = 45^{\circ}$ (этот угол лежит напротив искомой стороны $BC$);

- угол $C = 120^{\circ}$ (этот угол лежит напротив известной стороны $AB$).

Составим пропорцию согласно теореме синусов, используя известные нам данные:

$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} $

Подставим известные значения в формулу:

$ \frac{BC}{\sin 45^{\circ}} = \frac{6}{\sin 120^{\circ}} $

Выразим искомую сторону $BC$ из этого уравнения:

$ BC = \frac{6 \cdot \sin 45^{\circ}}{\sin 120^{\circ}} $

Найдём значения синусов для углов $45^{\circ}$ и $120^{\circ}$:

$ \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Для угла $120^{\circ}$ воспользуемся формулой приведения: $ \sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha $.

$ \sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь подставим числовые значения синусов в формулу для $BC$:

$ BC = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $

Упростим полученное выражение. Можно сократить $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе:

$ BC = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{3} $:

$ BC = \frac{6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{6}}{3} $

Сократим дробь:

$ BC = 2 \sqrt{6} $

Ответ: $2 \sqrt{6}$ см.