Номер 64, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

64. Докажите, что два прямоугольных треугольника подобны, если у них есть по равному острому углу.

65. Докажите, что два прямоугольных треугольника подобны, если

Дано:
$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — прямоугольные треугольники.
$\angle C = 90^\circ$, $\angle C_1 = 90^\circ$.
У треугольников есть по равному острому углу, пусть $\angle A = \angle A_1$.

Доказать:
$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:
Для доказательства подобия двух треугольников можно использовать первый признак подобия треугольников (по двум углам). Согласно этому признаку, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
1. По условию оба треугольника являются прямоугольными, это означает, что у каждого из них есть прямой угол.
$\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.
Это первая пара равных углов.
2. Также по условию у этих треугольников есть по равному острому углу.
$\angle A = \angle A_1$.
Это вторая пара равных углов.
Так как два угла треугольника $\triangle ABC$ (а именно $\angle A$ и $\angle C$) соответственно равны двум углам треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ ($\angle A_1$ и $\angle C_1$), то по первому признаку подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
Что и требовалось доказать.

Ответ:Утверждение доказано. Два прямоугольных треугольника будут подобны, если у них есть по равному острому углу. Это следует из первого признака подобия треугольников (по двум углам), так как у обоих треугольников один угол прямой ($90^\circ$), а второй острый угол равен по условию.