Номер 57, страница 155 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

57. Подобны ли любые два:

а) равносторонних треугольника;

б) равнобедренных треугольника, отличных от равносторонних;

в) равнобедренных прямоугольных треугольника?

Чтобы определить, подобны ли два треугольника, можно использовать один из признаков подобия. Самым удобным в данном случае является признак подобия по двум углам: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

а) равносторонних треугольника;
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. В таком треугольнике все углы также равны и составляют $180^\circ / 3 = 60^\circ$. Таким образом, у абсолютно любого равностороннего треугольника углы будут $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$. Поскольку у любых двух равносторонних треугольников соответственные углы равны, они подобны по первому признаку подобия (по двум или трем углам).
Ответ: да.

б) равнобедренных треугольника, отличных от равносторонних;
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. В таком треугольнике углы при основании равны. Однако величина этих углов может быть разной в разных равнобедренных треугольниках. Например, один равнобедренный треугольник может иметь углы $80^\circ, 50^\circ, 50^\circ$. Другой равнобедренный треугольник может иметь углы $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$. Так как наборы углов у этих треугольников различны, они не являются подобными. Следовательно, не любые два равнобедренных треугольника подобны друг другу.
Ответ: нет.

в) равнобедренных прямоугольных треугольника?
Равнобедренный прямоугольный треугольник — это прямоугольный треугольник, у которого катеты равны. Один из углов такого треугольника прямой, то есть равен $90^\circ$. Так как треугольник равнобедренный (катеты равны), то углы при основании (гипотенузе) равны. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. На два равных острых угла приходится $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, каждый из этих углов равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$. Таким образом, у любого равнобедренного прямоугольного треугольника углы равны $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Поскольку у любых двух таких треугольников все три угла соответственно равны, они подобны по первому признаку подобия.
Ответ: да.