Номер 63, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

63. Докажите, что равнобедренные треугольники подобны, если углы при их вершинах, противолежащих основаниям, равны.

Пусть даны два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны ($AB = BC$ и $A_1B_1 = B_1C_1$), а также равны углы при основании. Следовательно, в $\triangle ABC$ имеем $\angle A = \angle C$, а в $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $\angle A_1 = \angle C_1$.

По условию задачи, углы при вершинах, противолежащих основаниям, равны. Обозначим их как $\angle B = \angle B_1$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Сумма его углов равна $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Так как $\angle A = \angle C$, мы можем записать это как $2\angle A + \angle B = 180^\circ$. Отсюда можем выразить угол при основании:
$\angle A = \frac{180^\circ - \angle B}{2}$

Аналогично для $\triangle A_1B_1C_1$. Сумма его углов $\angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ$. Так как $\angle A_1 = \angle C_1$, получаем $2\angle A_1 + \angle B_1 = 180^\circ$. Выразим угол при основании:
$\angle A_1 = \frac{180^\circ - \angle B_1}{2}$

Поскольку по условию $\angle B = \angle B_1$, правые части выражений для $\angle A$ и $\angle A_1$ равны. Следовательно, равны и левые части: $\angle A = \angle A_1$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ есть две пары соответственно равных углов:
1. $\angle B = \angle B_1$ (по условию).
2. $\angle A = \angle A_1$ (по доказанному).

Согласно первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как углы при вершинах, противолежащих основаниям, у двух равнобедренных треугольников равны, то и их углы при основаниях также будут равны между собой ($\angle A = \angle A_1 = \frac{180^\circ - \angle B}{2}$). Таким образом, треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум равным углам).