Номер 66, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

66. У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны соответственно 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.

Пусть даны два равнобедренных треугольника. Обозначим первый треугольник как $\triangle ABC$ и второй как $\triangle A'B'C'$.

Согласно условию, для первого треугольника $\triangle ABC$ боковые стороны равны $AB = AC = 17$ см, а основание $BC = 10$ см.

Для второго треугольника $\triangle A'B'C'$ известно основание $B'C' = 8$ см. Его боковые стороны $A'B' = A'C'$ необходимо найти. Обозначим их длину через $x$.

В задаче сказано, что углы между боковыми сторонами (углы при вершине, противолежащие основанию) у этих треугольников равны. То есть, $\angle BAC = \angle B'A'C'$.

Так как оба треугольника являются равнобедренными, углы при их основании равны. Величину этих углов можно найти, зная угол при вершине.
Для $\triangle ABC$: $\angle ABC = \angle ACB = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2}$.
Для $\triangle A'B'C'$: $\angle A'B'C' = \angle A'C'B' = \frac{180^\circ - \angle B'A'C'}{2}$.

Поскольку $\angle BAC = \angle B'A'C'$, то из приведенных выше формул следует, что и углы при основании у этих треугольников также соответственно равны: $\angle ABC = \angle A'B'C'$ и $\angle ACB = \angle A'C'B'$.

Два треугольника, у которых соответственные углы равны, являются подобными (по первому признаку подобия треугольников — по двум углам). Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$.

У подобных треугольников отношения длин соответственных сторон равны. Это означает, что отношение боковой стороны первого треугольника к боковой стороне второго равно отношению основания первого треугольника к основанию второго.

Составим пропорцию:

$\frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$

Подставим известные значения в данную пропорцию:

$\frac{17}{x} = \frac{10}{8}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$10 \cdot x = 17 \cdot 8$

$10x = 136$

$x = \frac{136}{10}$

$x = 13,6$

Таким образом, длина боковой стороны второго треугольника составляет 13,6 см.

Ответ: 13,6 см.