Номер 1, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В треугольнике $ABC$ $AB = 9$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$. Найдите сторону $BC$.

1. Для нахождения стороны $BC$ треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равно для всех сторон.
Формула теоремы синусов: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $
В нашем случае, сторона $BC$ противолежит углу $A$, а сторона $AB$ противолежит углу $C$. Таким образом, мы можем записать соотношение:
$ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $
Нам известны следующие значения: $AB = 9$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$.
Подставим эти значения в уравнение:
$ \frac{BC}{\sin(45^\circ)} = \frac{9}{\sin(60^\circ)} $
Теперь выразим сторону $BC$:
$ BC = \frac{9 \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(60^\circ)} $
Значения синусов для углов $45^\circ$ и $60^\circ$ являются стандартными тригонометрическими величинами:
$ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Подставим эти значения в формулу для $BC$:
$ BC = \frac{9 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $
Упростим выражение. Можно сократить множитель $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе:
$ BC = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $
Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$ BC = \frac{9\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{6}}{3} $
Сократим полученную дробь:
$ BC = 3\sqrt{6} $
Ответ: $3\sqrt{6}$.