Номер 6, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Найдите отношения сторон $AC : BC$ и $AB : BC$ в треугольнике ABC, в котором:

а) $ \angle A = 120^\circ$, $ \angle B = 30^\circ$;

б) $ \angle A = 90^\circ$, $ \angle B = 30^\circ$.

а)

Для нахождения отношений сторон воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $

В данном треугольнике $ABC$ даны углы $ \angle A = 120^\circ $ и $ \angle B = 30^\circ $.

Сначала найдем третий угол треугольника, $ \angle C $. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ $.

Теперь можем найти искомые отношения сторон.

1. Найдем отношение $ AC : BC $.

Из теоремы синусов следует, что $ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $. Отсюда:

$ \frac{AC}{BC} = \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} = \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} $

Значения синусов: $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $ и $ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставляем значения в отношение:

$ \frac{AC}{BC} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Следовательно, отношение $ AC : BC = 1 : \sqrt{3} $.

2. Найдем отношение $ AB : BC $.

Из теоремы синусов следует, что $ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $. Отсюда:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} = \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} $

Так как $ \angle C = 30^\circ $, вычисление аналогично предыдущему пункту:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Следовательно, отношение $ AB : BC = 1 : \sqrt{3} $.

Ответ: $ AC : BC = 1 : \sqrt{3} $ и $ AB : BC = 1 : \sqrt{3} $.

б)

В данном треугольнике $ABC$ даны углы $ \angle A = 90^\circ $ и $ \angle B = 30^\circ $.

Сначала найдем третий угол треугольника, $ \angle C $:

$ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $.

Воспользуемся теоремой синусов: $ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $.

1. Найдем отношение $ AC : BC $.

Из соотношения $ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $ получаем:

$ \frac{AC}{BC} = \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} = \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(90^\circ)} $

Значения синусов: $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $ и $ \sin(90^\circ) = 1 $.

Подставляем значения:

$ \frac{AC}{BC} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2} $

Следовательно, отношение $ AC : BC = 1 : 2 $.

2. Найдем отношение $ AB : BC $.

Из соотношения $ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $ получаем:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} = \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(90^\circ)} $

Значение синуса: $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставляем значения:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Следовательно, отношение $ AB : BC = \sqrt{3} : 2 $.

Ответ: $ AC : BC = 1 : 2 $ и $ AB : BC = \sqrt{3} : 2 $.