Номер 5, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Синусы углов треугольника относятся как $3 : 4 : 5$. Как относятся стороны? Какой это треугольник?

Как относятся стороны?

Согласно расширенной теореме синусов, для любого треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ справедливо соотношение:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $

где $R$ — радиус описанной окружности.

Из этой теоремы следует, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$ a : b : c = \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma $

По условию задачи, синусы углов треугольника относятся как $3 : 4 : 5$. Следовательно, стороны треугольника относятся так же.

Ответ: Стороны треугольника относятся как $3 : 4 : 5$.

Какой это треугольник?

Пусть стороны треугольника равны $a = 3k$, $b = 4k$ и $c = 5k$, где $k$ — некоторый коэффициент пропорциональности. Чтобы определить тип треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон.

Большая сторона — $c = 5k$. Сумма квадратов двух других сторон:

$ a^2 + b^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 $

Квадрат большей стороны:

$ c^2 = (5k)^2 = 25k^2 $

Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, то, согласно теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник является прямоугольным. Угол, лежащий напротив большей стороны ($c=5k$), является прямым ($90^\circ$).

Ответ: Это прямоугольный треугольник.