Номер 2, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В треугольнике ABC $AB = 6 \text{ см}$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 120^\circ$. Найдите сторону $BC$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

В нашем треугольнике ABC даны:

- сторона $AB = 6$ см (эта сторона лежит напротив угла $C$);

- угол $A = 45^{\circ}$ (этот угол лежит напротив искомой стороны $BC$);

- угол $C = 120^{\circ}$ (этот угол лежит напротив известной стороны $AB$).

Составим пропорцию согласно теореме синусов, используя известные нам данные:

$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} $

Подставим известные значения в формулу:

$ \frac{BC}{\sin 45^{\circ}} = \frac{6}{\sin 120^{\circ}} $

Выразим искомую сторону $BC$ из этого уравнения:

$ BC = \frac{6 \cdot \sin 45^{\circ}}{\sin 120^{\circ}} $

Найдём значения синусов для углов $45^{\circ}$ и $120^{\circ}$:

$ \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Для угла $120^{\circ}$ воспользуемся формулой приведения: $ \sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha $.

$ \sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь подставим числовые значения синусов в формулу для $BC$:

$ BC = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $

Упростим полученное выражение. Можно сократить $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе:

$ BC = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{3} $:

$ BC = \frac{6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{6}}{3} $

Сократим дробь:

$ BC = 2 \sqrt{6} $

Ответ: $2 \sqrt{6}$ см.