Номер 68, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

68. В треугольнике $ABC$ проведены его средние линии $DE$, $EG$ и $DG$, параллельные сторонам соответственно $AB$, $BC$ и $AC$. Среди всех образовавшихся треугольников укажите подобные.

Пусть дан треугольник $ABC$. В нем проведены средние линии $DE$, $EG$ и $DG$. Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Три средние линии образуют треугольник, вершины которого являются серединами сторон исходного треугольника. Обозначим точки $D$, $E$ и $G$ как середины сторон треугольника $ABC$.

В условии задачи указано, что:

1. Средняя линия $DE$ параллельна стороне $AB$.

2. Средняя линия $EG$ параллельна стороне $BC$.

3. Средняя линия $DG$ параллельна стороне $AC$.

По свойству средней линии, линия, соединяющая середины сторон $AC$ и $BC$, параллельна стороне $AB$. Из условия (1) следует, что точки $D$ и $E$ являются серединами сторон $AC$ и $BC$ (в каком-то порядке).

Аналогично, из условия (2) следует, что $E$ и $G$ — середины сторон $AB$ и $AC$.

Из условия (3) следует, что $D$ и $G$ — середины сторон $AB$ и $BC$.

Сопоставив эти условия, мы можем однозначно определить расположение точек:

- Точка $E$ является общей для пар $(D, E)$ и $(E, G)$, а соответствующие им стороны — $BC$ и $AB$ (с общей стороной $AC$). Следовательно, $E$ — середина стороны $AC$.

- Раз $E$ — середина $AC$, то из (1) следует, что $D$ — середина $BC$.

- Раз $E$ — середина $AC$, то из (2) следует, что $G$ — середина $AB$.

Проверим условие (3): $D$ — середина $BC$, $G$ — середина $AB$. Средняя линия $DG$ действительно параллельна стороне $AC$. Все условия выполняются.

Таким образом, точки $D$, $E$, $G$ — это середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.

Проведенные средние линии делят треугольник $ABC$ на четыре меньших треугольника:

- $\triangle AGE$ (у вершины $A$)

- $\triangle GBD$ (у вершины $B$)

- $\triangle EDC$ (у вершины $C$)

- $\triangle GDE$ (центральный треугольник)

Найдем подобные среди этих четырех треугольников. Для этого сравним каждый из них с исходным треугольником $ABC$.

1. Треугольник $AGE$ и треугольник $ABC$:

Точка $G$ — середина $AB$, значит $AG = \frac{1}{2}AB$.Точка $E$ — середина $AC$, значит $AE = \frac{1}{2}AC$.Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle AGE \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

2. Треугольник $GBD$ и треугольник $ABC$:

Точка $G$ — середина $AB$, значит $GB = \frac{1}{2}AB$.Точка $D$ — середина $BC$, значит $BD = \frac{1}{2}BC$.Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.Следовательно, по второму признаку подобия, $\triangle GBD \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

3. Треугольник $EDC$ и треугольник $ABC$:

Точка $E$ — середина $AC$, значит $EC = \frac{1}{2}AC$.Точка $D$ — середина $BC$, значит $DC = \frac{1}{2}BC$.Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.Следовательно, по второму признаку подобия, $\triangle EDC \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

4. Треугольник $GDE$ и треугольник $ABC$:

Найдем длины сторон треугольника $GDE$ по свойству средней линии:

- $DE$ — средняя линия, соединяющая середины $BC$ и $AC$, значит $DE = \frac{1}{2}AB$.

- $EG$ — средняя линия, соединяющая середины $AC$ и $AB$, значит $EG = \frac{1}{2}BC$.

- $GD$ — средняя линия, соединяющая середины $AB$ и $BC$, значит $GD = \frac{1}{2}AC$.

Найдем отношения соответствующих сторон треугольников $GDE$ и $ABC$:

$\frac{DE}{AB} = \frac{1}{2}$, $\frac{EG}{BC} = \frac{1}{2}$, $\frac{GD}{AC} = \frac{1}{2}$.

Так как все три отношения равны, то по третьему признаку подобия треугольников (по трем пропорциональным сторонам), $\triangle GDE \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Поскольку все четыре образовавшихся треугольника ($\triangle AGE$, $\triangle GBD$, $\triangle EDC$ и $\triangle GDE$) подобны одному и тому же треугольнику $ABC$, то по свойству транзитивности подобия они все подобны друг другу.

Ответ: Все четыре треугольника, образовавшиеся в результате проведения средних линий ($\triangle AGE$, $\triangle GBD$, $\triangle EDC$ и $\triangle GDE$), подобны друг другу, а также подобны исходному треугольнику $\triangle ABC$.