Номер 65, страница 156 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

65. Докажите, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $\angle C$ — прямой, то есть $\angle C = 90^\circ$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. По определению высоты, $CH \perp AB$, следовательно, углы $\angle CHA$ и $\angle CHB$ являются прямыми, то есть $\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$. Высота $CH$ разбивает исходный треугольник $ABC$ на два новых треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$. Докажем, что каждый из этих треугольников подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$.

Сначала рассмотрим треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$. У них есть общий острый угол $\angle A$. Кроме того, в каждом из этих треугольников есть прямой угол: $\angle AHC = 90^\circ$ в $\triangle ACH$ и $\angle ACB = 90^\circ$ в $\triangle ABC$. Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle A$ — общий, $\angle AHC = \angle ACB = 90^\circ$), то треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$. У них есть общий острый угол $\angle B$. Также в каждом из них есть прямой угол: $\angle CHB = 90^\circ$ в $\triangle CBH$ и $\angle ACB = 90^\circ$ в $\triangle ABC$. Следовательно, по первому признаку подобия треугольников (по двум углам), треугольник $\triangle CBH$ подобен треугольнику $\triangle ABC$.

Таким образом, высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, действительно разбивает его на два треугольника, каждый из которых подобен исходному. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ и высоту $CH$, проведенную к гипотенузе $AB$. В треугольниках $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$ угол $\angle A$ — общий, а $\angle AHC = \angle ACB = 90^\circ$, следовательно, $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ по двум углам. В треугольниках $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$ угол $\angle B$ — общий, а $\angle CHB = \angle ACB = 90^\circ$, следовательно, $\triangle CBH \sim \triangle ABC$ по двум углам.