Номер 3, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В треугольнике ABC даны две стороны $BC = 3$, $AC = \sqrt{3}$ и $\angle A$, равный $60^{\circ}$. Найдите угол $\angle B$.

Для нахождения угла $B$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны между собой.

Формула теоремы синусов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

В нашем случае даны:

• Сторона $BC = 3$, которая лежит напротив угла $A$.
• Сторона $AC = \sqrt{3}$, которая лежит напротив угла $B$.
• Угол $A = 60^\circ$.

Применим теорему синусов для известных нам сторон и углов:

$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} $

Подставим известные значения в это соотношение:

$ \frac{3}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B} $

Из этого уравнения выразим $\sin B$:

$ \sin B = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ}{3} $

Значение синуса $60^\circ$ является табличным и равно $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в нашу формулу:

$ \sin B = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{\frac{3}{2}}{3} = \frac{3}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} $

Мы получили, что $\sin B = \frac{1}{2}$. В интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ (возможные значения для угла треугольника) этому условию удовлетворяют два угла: $B_1 = 30^\circ$ и $B_2 = 150^\circ$.

Необходимо проверить, какой из этих вариантов возможен. Сумма углов в треугольнике должна быть равна $180^\circ$.

1. Проверим вариант $B = 30^\circ$. Сумма углов $A$ и $B$ составит: $60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$. Так как $90^\circ < 180^\circ$, такой треугольник существует. Угол $C$ будет равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

2. Проверим вариант $B = 150^\circ$. Сумма углов $A$ и $B$ составит: $60^\circ + 150^\circ = 210^\circ$. Так как $210^\circ > 180^\circ$, такой треугольник не может существовать.

Таким образом, единственно возможным значением для угла $B$ является $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.