Страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В треугольнике ABC даны две стороны $BC = 3$, $AC = \sqrt{3}$ и $\angle A$, равный $60^{\circ}$. Найдите угол $\angle B$.

Для нахождения угла $B$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны между собой.

Формула теоремы синусов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

В нашем случае даны:

• Сторона $BC = 3$, которая лежит напротив угла $A$.
• Сторона $AC = \sqrt{3}$, которая лежит напротив угла $B$.
• Угол $A = 60^\circ$.

Применим теорему синусов для известных нам сторон и углов:

$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} $

Подставим известные значения в это соотношение:

$ \frac{3}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin B} $

Из этого уравнения выразим $\sin B$:

$ \sin B = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ}{3} $

Значение синуса $60^\circ$ является табличным и равно $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в нашу формулу:

$ \sin B = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{\frac{3}{2}}{3} = \frac{3}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} $

Мы получили, что $\sin B = \frac{1}{2}$. В интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ (возможные значения для угла треугольника) этому условию удовлетворяют два угла: $B_1 = 30^\circ$ и $B_2 = 150^\circ$.

Необходимо проверить, какой из этих вариантов возможен. Сумма углов в треугольнике должна быть равна $180^\circ$.

1. Проверим вариант $B = 30^\circ$. Сумма углов $A$ и $B$ составит: $60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$. Так как $90^\circ < 180^\circ$, такой треугольник существует. Угол $C$ будет равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

2. Проверим вариант $B = 150^\circ$. Сумма углов $A$ и $B$ составит: $60^\circ + 150^\circ = 210^\circ$. Так как $210^\circ > 180^\circ$, такой треугольник не может существовать.

Таким образом, единственно возможным значением для угла $B$ является $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

4. Стороны треугольника относятся как $2 : 3 : 4$. Найдите отношения синусов углов.

Для решения этой задачи необходимо использовать следствие из теоремы синусов. Теорема синусов устанавливает связь между сторонами треугольника и синусами противолежащих им углов.

Пусть стороны треугольника обозначаются как $a$, $b$ и $c$, а углы, противолежащие этим сторонам, — как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Согласно теореме синусов, для любого треугольника справедливо следующее соотношение:

$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R $

где $R$ — это радиус окружности, описанной около треугольника.

Из этой теоремы напрямую следует, что отношение сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих им углов:

$ a : b : c = \sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma $

В условии задачи дано, что стороны треугольника относятся как $2 : 3 : 4$. Запишем это математически:

$ a : b : c = 2 : 3 : 4 $

Используя следствие из теоремы синусов, мы можем приравнять отношение сторон к отношению синусов углов:

$ \sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma = 2 : 3 : 4 $

Таким образом, отношение синусов углов треугольника полностью совпадает с отношением его сторон.

Ответ: $2 : 3 : 4$

5. Синусы углов треугольника относятся как $3 : 4 : 5$. Как относятся стороны? Какой это треугольник?

Как относятся стороны?

Согласно расширенной теореме синусов, для любого треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ справедливо соотношение:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $

где $R$ — радиус описанной окружности.

Из этой теоремы следует, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$ a : b : c = \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma $

По условию задачи, синусы углов треугольника относятся как $3 : 4 : 5$. Следовательно, стороны треугольника относятся так же.

Ответ: Стороны треугольника относятся как $3 : 4 : 5$.

Какой это треугольник?

Пусть стороны треугольника равны $a = 3k$, $b = 4k$ и $c = 5k$, где $k$ — некоторый коэффициент пропорциональности. Чтобы определить тип треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон.

Большая сторона — $c = 5k$. Сумма квадратов двух других сторон:

$ a^2 + b^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 $

Квадрат большей стороны:

$ c^2 = (5k)^2 = 25k^2 $

Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, то, согласно теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник является прямоугольным. Угол, лежащий напротив большей стороны ($c=5k$), является прямым ($90^\circ$).

Ответ: Это прямоугольный треугольник.

6. Найдите отношения сторон $AC : BC$ и $AB : BC$ в треугольнике ABC, в котором:

а) $ \angle A = 120^\circ$, $ \angle B = 30^\circ$;

б) $ \angle A = 90^\circ$, $ \angle B = 30^\circ$.

а)

Для нахождения отношений сторон воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $

В данном треугольнике $ABC$ даны углы $ \angle A = 120^\circ $ и $ \angle B = 30^\circ $.

Сначала найдем третий угол треугольника, $ \angle C $. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ $.

Теперь можем найти искомые отношения сторон.

1. Найдем отношение $ AC : BC $.

Из теоремы синусов следует, что $ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $. Отсюда:

$ \frac{AC}{BC} = \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} = \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} $

Значения синусов: $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $ и $ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставляем значения в отношение:

$ \frac{AC}{BC} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Следовательно, отношение $ AC : BC = 1 : \sqrt{3} $.

2. Найдем отношение $ AB : BC $.

Из теоремы синусов следует, что $ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $. Отсюда:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} = \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} $

Так как $ \angle C = 30^\circ $, вычисление аналогично предыдущему пункту:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Следовательно, отношение $ AB : BC = 1 : \sqrt{3} $.

Ответ: $ AC : BC = 1 : \sqrt{3} $ и $ AB : BC = 1 : \sqrt{3} $.

б)

В данном треугольнике $ABC$ даны углы $ \angle A = 90^\circ $ и $ \angle B = 30^\circ $.

Сначала найдем третий угол треугольника, $ \angle C $:

$ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $.

Воспользуемся теоремой синусов: $ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $.

1. Найдем отношение $ AC : BC $.

Из соотношения $ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $ получаем:

$ \frac{AC}{BC} = \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} = \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(90^\circ)} $

Значения синусов: $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $ и $ \sin(90^\circ) = 1 $.

Подставляем значения:

$ \frac{AC}{BC} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2} $

Следовательно, отношение $ AC : BC = 1 : 2 $.

2. Найдем отношение $ AB : BC $.

Из соотношения $ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $ получаем:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{\sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} = \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(90^\circ)} $

Значение синуса: $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставляем значения:

$ \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Следовательно, отношение $ AB : BC = \sqrt{3} : 2 $.

Ответ: $ AC : BC = 1 : 2 $ и $ AB : BC = \sqrt{3} : 2 $.

7. Углы треугольника относятся как $1 : 2 : 3$. Найдите отношение сторон.

Нахождение углов треугольника
Пусть углы треугольника, обозначенные как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, относятся как $1:2:3$. Это можно записать в виде $\alpha = k$, $\beta = 2k$ и $\gamma = 3k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.
Сумма углов в треугольнике всегда составляет $180^\circ$. Используя это свойство, составим уравнение:
$k + 2k + 3k = 180^\circ$
$6k = 180^\circ$
$k = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$
Теперь мы можем найти точные значения каждого угла:
$\alpha = 30^\circ$
$\beta = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
$\gamma = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$
Таким образом, мы имеем дело с прямоугольным треугольником.

Нахождение отношения сторон
Согласно теореме синусов, отношение длин сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих им углов. Пусть $a$, $b$ и $c$ — стороны, противолежащие углам $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Тогда:
$a : b : c = \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma$
Подставим значения углов:
$a : b : c = \sin 30^\circ : \sin 60^\circ : \sin 90^\circ$
Вычислим значения синусов для этих углов:
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 90^\circ = 1$
Подставим эти значения в отношение:
$a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$
Чтобы упростить отношение и избавиться от дробей, умножим все его члены на 2:
$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$

Ответ: $1 : \sqrt{3} : 2$.

8. В треугольнике $ABC$ $AB = 4$, $BC = 3$, $AC = 5$. Найдите отрезки, на которые биссектриса $CD$ этого треугольника делит его сторону $AB$.

Для решения этой задачи используется свойство биссектрисы угла треугольника. Оно гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

В треугольнике $ABC$ биссектриса $CD$ делит сторону $AB$ на отрезки $AD$ и $DB$. Согласно свойству биссектрисы, отношение длин этих отрезков равно отношению длин прилежащих сторон $AC$ и $BC$:

$\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}$

Подставим в это равенство известные значения длин сторон: $AC = 5$ и $BC = 3$.

$\frac{AD}{DB} = \frac{5}{3}$

Из этой пропорции можно выразить длину одного отрезка через другой, например: $AD = \frac{5}{3} DB$.

Также мы знаем, что точка $D$ лежит на стороне $AB$, поэтому сумма длин отрезков $AD$ и $DB$ равна длине стороны $AB$:

$AD + DB = AB = 4$

Теперь подставим выражение для $AD$ из пропорции в это уравнение:

$\frac{5}{3} DB + DB = 4$

Решим полученное уравнение относительно $DB$:

$(\frac{5}{3} + 1) \cdot DB = 4$

$(\frac{5}{3} + \frac{3}{3}) \cdot DB = 4$

$\frac{8}{3} \cdot DB = 4$

$DB = 4 \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь найдем длину отрезка $AD$:

$AD = 4 - DB = 4 - 1.5 = 2.5$

Итак, биссектриса $CD$ делит сторону $AB$ на отрезки длиной 2.5 и 1.5.

Ответ: отрезки равны $2.5$ и $1.5$.

9. В треугольнике $ABC$ $AB = 3$, $AC = BC = 6$. Найдите отрезки, на которые биссектриса $AD$ этого треугольника делит его сторону $BC$.

Для решения задачи используется свойство биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса угла делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам треугольника.

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, которая делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$. Согласно свойству биссектрисы, справедливо соотношение:

$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $

По условию задачи известны длины сторон $AB = 3$ и $AC = 6$. Подставим эти значения в пропорцию:

$ \frac{BD}{DC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

Из этого соотношения получаем, что $DC = 2 \cdot BD$.

Сумма длин отрезков $BD$ и $DC$ равна длине стороны $BC$, которая по условию составляет 6:

$BD + DC = BC = 6$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $DC = 2 \cdot BD$

2. $BD + DC = 6$

Подставим выражение для $DC$ из первого уравнения во второе:

$BD + (2 \cdot BD) = 6$

$3 \cdot BD = 6$

Отсюда находим длину отрезка $BD$:

$BD = \frac{6}{3} = 2$

Теперь, зная $BD$, находим длину отрезка $DC$:

$DC = 2 \cdot BD = 2 \cdot 2 = 4$

Таким образом, биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки длиной 2 и 4.

Ответ: отрезки равны 2 и 4.

10. В треугольнике ABC $AC = BC = 1$, угол C равен $30^\circ$. Найдите AB.

Для нахождения длины стороны $AB$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой косинусов. Эта теорема утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Запишем формулу теоремы косинусов для стороны $AB$:$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:$AC = 1$$BC = 1$$\angle C = 30^\circ$

Подставим эти значения в формулу:$AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(30^\circ)$

Теперь произведем вычисления. Значение косинуса $30^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.$AB^2 = 1 + 1 - 2 \cdot \cos(30^\circ)$$AB^2 = 2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$AB^2 = 2 - \sqrt{3}$

Чтобы найти длину стороны $AB$, необходимо извлечь квадратный корень из полученного значения:$AB = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

Ответ: $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

11. В треугольнике ABC $AC = BC = 1$, угол C равен $45^\circ$. Найдите AB.

Для нахождения длины стороны $AB$ в треугольнике $ABC$ можно использовать теорему косинусов. Теорема косинусов устанавливает связь между длинами сторон треугольника и косинусом одного из его углов.

Формула теоремы косинусов для стороны $AB$ выглядит следующим образом:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

В условии задачи даны следующие значения:

Сторона $AC = 1$
Сторона $BC = 1$
Угол $\angle C = 45^\circ$

Подставим эти значения в формулу теоремы косинусов:

$AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(45^\circ)$

Теперь выполним вычисления. Значение косинуса 45 градусов равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$AB^2 = 1 + 1 - 2 \cdot \cos(45^\circ)$

$AB^2 = 2 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 2 - \sqrt{2}$

Чтобы найти длину стороны $AB$, необходимо извлечь квадратный корень из полученного значения:

$AB = \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Ответ: $AB = \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

12. В треугольнике ABC $AB = 12 \text{ см}$, $AC = 8 \text{ см}$, $\angle A = 60^{\circ}$. Найдите третью сторону.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Она позволяет найти длину стороны треугольника, если известны длины двух других сторон и величина угла между ними. Формула теоремы косинусов выглядит следующим образом:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)$

где $a$ — сторона, которую нужно найти, $b$ и $c$ — известные стороны, а $\alpha$ — угол между сторонами $b$ и $c$.

В нашем треугольнике $ABC$ мы ищем сторону $BC$. Известны стороны $AB = 12$ см и $AC = 8$ см, а также угол между ними $\angle A = 60^{\circ}$.

Применим теорему косинусов, подставив наши данные. Пусть $BC = a$, $AC = b = 8$ см, $AB = c = 12$ см, и $\angle A = \alpha = 60^{\circ}$.

$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos(\angle A)$

Подставляем числовые значения:

$BC^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos(60^{\circ})$

Значение косинуса $60^{\circ}$ равно $\frac{1}{2}$.

$BC^2 = 64 + 144 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$

Выполняем вычисления:

$BC^2 = 208 - 192 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 208 - 96$

$BC^2 = 112$

Теперь найдем длину стороны $BC$, извлекая квадратный корень из 112:

$BC = \sqrt{112}$

Для упрощения корня разложим число 112 на множители:

$112 = 16 \cdot 7$

Тогда:

$BC = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$

Ответ: $4\sqrt{7}$ см.

13. Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в $120^\circ$, если прилежащие к нему стороны равны:

а) 6 см и 10 см;

б) 7 мм и 8 мм.

Для нахождения стороны треугольника, лежащей против известного угла, когда даны две другие стороны, используется теорема косинусов. Она утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов выглядит так: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$, где $a$ и $b$ — длины сторон, прилежащих к углу $\gamma$, а $c$ — длина стороны, противолежащей этому углу.

В данной задаче угол $\gamma = 120^\circ$. Найдём значение его косинуса: $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -0.5$.

а) Даны стороны $a = 6$ см и $b = 10$ см. Угол между ними $\gamma = 120^\circ$.
Подставляем значения в формулу теоремы косинусов, чтобы найти сторону $c$:
$c^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ)$
$c^2 = 36 + 100 - 120 \cdot (-0.5)$
$c^2 = 136 + 60$
$c^2 = 196$
$c = \sqrt{196}$
$c = 14$ см.
Ответ: 14 см.

б) Даны стороны $a = 7$ мм и $b = 8$ мм. Угол между ними $\gamma = 120^\circ$.
Подставляем значения в формулу, чтобы найти сторону $c$:
$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$
$c^2 = 49 + 64 - 112 \cdot (-0.5)$
$c^2 = 113 + 56$
$c^2 = 169$
$c = \sqrt{169}$
$c = 13$ мм.
Ответ: 13 мм.

14. При каких значениях угла A квадрат стороны треугольника, лежащей против этого угла:
а) меньше суммы квадратов двух других сторон;
б) равен сумме квадратов двух других сторон;
в) больше суммы квадратов двух других сторон?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся теоремой косинусов. Пусть в треугольнике заданы стороны $a, b, c$ и угол $A$, который лежит напротив стороны $a$. Теорема косинусов связывает их следующим соотношением:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

Мы можем преобразовать это уравнение, чтобы выразить разность между квадратом стороны $a$ и суммой квадратов двух других сторон:

$a^2 - (b^2 + c^2) = -2bc \cos A$

Поскольку длины сторон треугольника $b$ и $c$ всегда положительны, знак выражения в левой части ($a^2 - (b^2 + c^2)$) будет противоположным знаку $\cos A$. Угол в треугольнике $A$ может принимать значения в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Проанализируем каждый из трех случаев.

а) Найдем, при каких значениях угла $A$ квадрат стороны, лежащей против него, будет меньше суммы квадратов двух других сторон: $a^2 < b^2 + c^2$.
Это неравенство можно переписать в виде $a^2 - (b^2 + c^2) < 0$.
Используя выведенное нами соотношение, получаем: $-2bc \cos A < 0$.
Так как произведение $-2bc$ всегда является отрицательным числом (поскольку $b > 0$ и $c > 0$), для выполнения этого неравенства значение $\cos A$ должно быть положительным:
$\cos A > 0$.
Косинус угла положителен, если угол острый. Для угла $A$ в треугольнике это означает, что $0^\circ < A < 90^\circ$.
Ответ: Угол $A$ должен быть острым ($0^\circ < A < 90^\circ$).

б) Найдем, при каких значениях угла $A$ квадрат стороны будет равен сумме квадратов двух других сторон: $a^2 = b^2 + c^2$.
Это равенство является формулировкой теоремы, обратной теореме Пифагора. Его можно записать как $a^2 - (b^2 + c^2) = 0$.
Подставив сюда выражение из теоремы косинусов, получим: $-2bc \cos A = 0$.
Поскольку $b > 0$ и $c > 0$, это равенство выполняется только в том случае, если $\cos A = 0$.
Для угла треугольника ($0^\circ < A < 180^\circ$) это условие выполняется только при $A = 90^\circ$.
Ответ: Угол $A$ должен быть прямым ($A = 90^\circ$).

в) Найдем, при каких значениях угла $A$ квадрат стороны будет больше суммы квадратов двух других сторон: $a^2 > b^2 + c^2$.
Это неравенство эквивалентно $a^2 - (b^2 + c^2) > 0$.
Снова используя соотношение из теоремы косинусов, получаем: $-2bc \cos A > 0$.
Так как множитель $-2bc$ отрицателен, для выполнения этого неравенства значение $\cos A$ должно быть отрицательным:
$\cos A < 0$.
Косинус угла отрицателен, если угол тупой. Для угла $A$ в треугольнике это означает, что $90^\circ < A < 180^\circ$.
Ответ: Угол $A$ должен быть тупым ($90^\circ < A < 180^\circ$).

15. Стороны треугольника 5 м, 6 м и 7 м. Найдите косинусы его углов.

Для нахождения косинусов углов треугольника, зная длины всех его сторон, используется теорема косинусов. Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\alpha$, который лежит напротив стороны $a$, теорема косинусов выглядит так:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{\alpha}$

Отсюда можно выразить косинус угла:

$\cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

В данной задаче стороны треугольника равны 5 м, 6 м и 7 м. Обозначим их как $a=5$, $b=6$ и $c=7$. Теперь последовательно найдем косинусы углов, противолежащих каждой из сторон.

Косинус угла, противолежащего стороне 5 м

Найдем косинус угла $\alpha$, лежащего напротив стороны $a=5$. В формулу подставляем $a=5$, $b=6$, $c=7$:

$\cos{\alpha} = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{85 - 25}{84} = \frac{60}{84}$

Сократим полученную дробь на 12:

$\cos{\alpha} = \frac{60}{84} = \frac{5 \cdot 12}{7 \cdot 12} = \frac{5}{7}$

Косинус угла, противолежащего стороне 6 м

Найдем косинус угла $\beta$, лежащего напротив стороны $b=6$. В соответствующую формулу $\cos{\beta} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ подставляем значения:

$\cos{\beta} = \frac{5^2 + 7^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 36}{70} = \frac{74 - 36}{70} = \frac{38}{70}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\cos{\beta} = \frac{38}{70} = \frac{19 \cdot 2}{35 \cdot 2} = \frac{19}{35}$

Косинус угла, противолежащего стороне 7 м

Найдем косинус угла $\gamma$, лежащего напротив стороны $c=7$. В формулу $\cos{\gamma} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ подставляем значения:

$\cos{\gamma} = \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{61 - 49}{60} = \frac{12}{60}$

Сократим полученную дробь на 12:

$\cos{\gamma} = \frac{12}{60} = \frac{1 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{1}{5}$

Ответ: косинусы углов треугольника равны $\frac{5}{7}$, $\frac{19}{35}$ и $\frac{1}{5}$.

Даны диагонали параллелограмма 6 и 8 и угол между ними равен $30^\circ$. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм, диагонали которого $d_1$ и $d_2$ пересекаются в точке O. По условию, $d_1 = 8$, $d_2 = 6$, а острый угол между ними равен $30°$.

По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, мы можем найти длины отрезков, на которые точка O делит диагонали:
Половина первой диагонали: $\frac{d_1}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Половина второй диагонали: $\frac{d_2}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника. Стороны параллелограмма, обозначим их $a$ и $b$, являются основаниями этих треугольников. Мы можем найти эти стороны, используя теорему косинусов для двух смежных треугольников, образованных половинками диагоналей.

Найдем сторону $a$, используя треугольник, в котором угол между половинками диагоналей равен $30°$. По теореме косинусов:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(30°)$
$a^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(30°)$
$a^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a^2 = 25 - 12\sqrt{3}$
$a = \sqrt{25 - 12\sqrt{3}}$

Найдем вторую сторону $b$. Угол между половинками диагоналей в смежном треугольнике будет равен $180° - 30° = 150°$. Снова применим теорему косинусов:
$b^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(150°)$
$b^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(150°)$
Поскольку $\cos(150°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$b^2 = 16 + 9 - 24 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$b^2 = 25 + 12\sqrt{3}$
$b = \sqrt{25 + 12\sqrt{3}}$

Таким образом, стороны параллелограмма равны $\sqrt{25 - 12\sqrt{3}}$ и $\sqrt{25 + 12\sqrt{3}}$.

Ответ: $\sqrt{25 - 12\sqrt{3}}$ и $\sqrt{25 + 12\sqrt{3}}$.

17. Даны стороны параллелограмма 6 и 8 и один из его углов равен $45^\circ$. Найдите диагонали параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 6$ и $b = 8$. Один из его углов, назовем его $\alpha$, равен $45^\circ$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Следовательно, второй угол, $\beta$, равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Для нахождения диагоналей параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. Каждая диагональ образует треугольник с двумя смежными сторонами параллелограмма ($a$ и $b$) и углом между ними ($\alpha$ или $\beta$).

Найдем первую диагональ, $d_1$, которая лежит напротив угла $\alpha = 45^\circ$. Применим теорему косинусов:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$
$d_1^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(45^\circ)$
$d_1^2 = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$d_1^2 = 100 - 48\sqrt{2}$
Следовательно, $d_1 = \sqrt{100 - 48\sqrt{2}}$.

Найдем вторую диагональ, $d_2$, которая лежит напротив угла $\beta = 135^\circ$. Применим теорему косинусов еще раз:
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\beta)$
Зная, что $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим значения:
$d_2^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$d_2^2 = 36 + 64 + 96 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$d_2^2 = 100 + 48\sqrt{2}$
Следовательно, $d_2 = \sqrt{100 + 48\sqrt{2}}$.

Ответ: $\sqrt{100 - 48\sqrt{2}}$ и $\sqrt{100 + 48\sqrt{2}}$.

18. Стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Угол $C$, противолежащий стороне $c$, равен $120^{\circ}$. Докажите, что выполняется равенство $c^2 = a^2 + ab + b^2$.

Для доказательства данного равенства воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов устанавливает связь между сторонами треугольника и косинусом одного из его углов. Для стороны c и противолежащего ей угла C формула имеет вид:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

Согласно условию задачи, нам дан треугольник со сторонами a, b, c, и угол C, противолежащий стороне c, равен 120°.

Подставим значение угла $C = 120°$ в формулу теоремы косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120°)$

Теперь вычислим значение $\cos(120°)$. Используя формулу приведения $\cos(180° - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:

$\cos(120°) = \cos(180° - 60°) = -\cos(60°)$

Так как значение косинуса 60° является табличным и равно $\frac{1}{2}$, то:

$\cos(120°) = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим найденное значение косинуса обратно в наше уравнение:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \left(-\frac{1}{2}\right)$

Упростим выражение в правой части. Умножение $-2ab$ на $-\frac{1}{2}$ дает положительный результат:

$c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = a^2 + b^2 + ab$

Для соответствия с выражением из условия задачи, поменяем местами слагаемые:

$c^2 = a^2 + ab + b^2$

Таким образом, мы доказали, что данное равенство выполняется. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $c^2 = a^2 + ab + b^2$ доказано с помощью теоремы косинусов при подстановке в нее угла $C=120°$, так как $\cos(120°) = -1/2$.

19. Стороны параллелограмма равны 6 мм и 7 мм, одна диагональ равна 11 мм. Найдите другую диагональ.

Для решения этой задачи используется свойство параллелограмма, согласно которому сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, это свойство можно записать в виде формулы.

Пусть $a$ и $b$ — длины смежных сторон параллелограмма, а $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей. Тогда справедлива следующая формула:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

В нашей задаче даны:

Сторона $a = 6$ мм.

Сторона $b = 7$ мм.

Одна диагональ $d_1 = 11$ мм.

Необходимо найти вторую диагональ $d_2$.

Подставим известные значения в формулу:

$11^2 + d_2^2 = 2(6^2 + 7^2)$

Вычислим квадраты чисел:

$121 + d_2^2 = 2(36 + 49)$

Выполним сложение в скобках:

$121 + d_2^2 = 2(85)$

Выполним умножение:

$121 + d_2^2 = 170$

Теперь найдем $d_2^2$, вычитая 121 из обеих частей уравнения:

$d_2^2 = 170 - 121$

$d_2^2 = 49$

Чтобы найти длину диагонали $d_2$, извлечем квадратный корень из 49:

$d_2 = \sqrt{49}$

$d_2 = 7$ мм

Ответ: 7 мм.

20. Стороны равнобедренного треугольника равны 6, 7 и 7. Найдите медиану, проведенную к боковой стороне.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Согласно условию, стороны треугольника равны 6, 7 и 7. Следовательно, боковые стороны равны 7, а основание равно 6.
Обозначим стороны треугольника как $a, b, c$, где $a=7$ и $b=7$ — боковые стороны, а $c=6$ — основание.
Требуется найти длину медианы, проведенной к боковой стороне. Найдем медиану $m_a$, проведенную к стороне $a$.
Для нахождения длины медианы, проведенной к стороне $a$, используется формула:
$m_a = \frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2}$
Подставим в формулу значения длин сторон: $a=7$, $b=7$, $c=6$.
$m_a = \frac{\sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 6^2 - 7^2}}{2}$
Упростим выражение под корнем, сгруппировав члены с $7^2$:
$m_a = \frac{\sqrt{(2 \cdot 7^2 - 7^2) + 2 \cdot 6^2}}{2} = \frac{\sqrt{7^2 + 2 \cdot 6^2}}{2}$
Теперь выполним вычисления:
$m_a = \frac{\sqrt{49 + 2 \cdot 36}}{2}$
$m_a = \frac{\sqrt{49 + 72}}{2}$
$m_a = \frac{\sqrt{121}}{2}$
$m_a = \frac{11}{2} = 5.5$
Поскольку медианы, проведенные к равным сторонам треугольника (в данном случае к боковым), равны между собой, то длина медианы, проведенной к любой из боковых сторон, составляет 5.5.
Ответ: 5.5