Номер 17, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Даны стороны параллелограмма 6 и 8 и один из его углов равен $45^\circ$. Найдите диагонали параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 6$ и $b = 8$. Один из его углов, назовем его $\alpha$, равен $45^\circ$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Следовательно, второй угол, $\beta$, равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Для нахождения диагоналей параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. Каждая диагональ образует треугольник с двумя смежными сторонами параллелограмма ($a$ и $b$) и углом между ними ($\alpha$ или $\beta$).

Найдем первую диагональ, $d_1$, которая лежит напротив угла $\alpha = 45^\circ$. Применим теорему косинусов:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$
$d_1^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(45^\circ)$
$d_1^2 = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$d_1^2 = 100 - 48\sqrt{2}$
Следовательно, $d_1 = \sqrt{100 - 48\sqrt{2}}$.

Найдем вторую диагональ, $d_2$, которая лежит напротив угла $\beta = 135^\circ$. Применим теорему косинусов еще раз:
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\beta)$
Зная, что $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим значения:
$d_2^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$d_2^2 = 36 + 64 + 96 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$d_2^2 = 100 + 48\sqrt{2}$
Следовательно, $d_2 = \sqrt{100 + 48\sqrt{2}}$.

Ответ: $\sqrt{100 - 48\sqrt{2}}$ и $\sqrt{100 + 48\sqrt{2}}$.