Номер 16, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Даны диагонали параллелограмма 6 и 8 и угол между ними равен $30^\circ$. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм, диагонали которого $d_1$ и $d_2$ пересекаются в точке O. По условию, $d_1 = 8$, $d_2 = 6$, а острый угол между ними равен $30°$.

По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, мы можем найти длины отрезков, на которые точка O делит диагонали:
Половина первой диагонали: $\frac{d_1}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Половина второй диагонали: $\frac{d_2}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника. Стороны параллелограмма, обозначим их $a$ и $b$, являются основаниями этих треугольников. Мы можем найти эти стороны, используя теорему косинусов для двух смежных треугольников, образованных половинками диагоналей.

Найдем сторону $a$, используя треугольник, в котором угол между половинками диагоналей равен $30°$. По теореме косинусов:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(30°)$
$a^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(30°)$
$a^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a^2 = 25 - 12\sqrt{3}$
$a = \sqrt{25 - 12\sqrt{3}}$

Найдем вторую сторону $b$. Угол между половинками диагоналей в смежном треугольнике будет равен $180° - 30° = 150°$. Снова применим теорему косинусов:
$b^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(150°)$
$b^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(150°)$
Поскольку $\cos(150°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$b^2 = 16 + 9 - 24 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$b^2 = 25 + 12\sqrt{3}$
$b = \sqrt{25 + 12\sqrt{3}}$

Таким образом, стороны параллелограмма равны $\sqrt{25 - 12\sqrt{3}}$ и $\sqrt{25 + 12\sqrt{3}}$.

Ответ: $\sqrt{25 - 12\sqrt{3}}$ и $\sqrt{25 + 12\sqrt{3}}$.