Номер 14, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

14. При каких значениях угла A квадрат стороны треугольника, лежащей против этого угла:
а) меньше суммы квадратов двух других сторон;
б) равен сумме квадратов двух других сторон;
в) больше суммы квадратов двух других сторон?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся теоремой косинусов. Пусть в треугольнике заданы стороны $a, b, c$ и угол $A$, который лежит напротив стороны $a$. Теорема косинусов связывает их следующим соотношением:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

Мы можем преобразовать это уравнение, чтобы выразить разность между квадратом стороны $a$ и суммой квадратов двух других сторон:

$a^2 - (b^2 + c^2) = -2bc \cos A$

Поскольку длины сторон треугольника $b$ и $c$ всегда положительны, знак выражения в левой части ($a^2 - (b^2 + c^2)$) будет противоположным знаку $\cos A$. Угол в треугольнике $A$ может принимать значения в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. Проанализируем каждый из трех случаев.

а) Найдем, при каких значениях угла $A$ квадрат стороны, лежащей против него, будет меньше суммы квадратов двух других сторон: $a^2 < b^2 + c^2$.
Это неравенство можно переписать в виде $a^2 - (b^2 + c^2) < 0$.
Используя выведенное нами соотношение, получаем: $-2bc \cos A < 0$.
Так как произведение $-2bc$ всегда является отрицательным числом (поскольку $b > 0$ и $c > 0$), для выполнения этого неравенства значение $\cos A$ должно быть положительным:
$\cos A > 0$.
Косинус угла положителен, если угол острый. Для угла $A$ в треугольнике это означает, что $0^\circ < A < 90^\circ$.
Ответ: Угол $A$ должен быть острым ($0^\circ < A < 90^\circ$).

б) Найдем, при каких значениях угла $A$ квадрат стороны будет равен сумме квадратов двух других сторон: $a^2 = b^2 + c^2$.
Это равенство является формулировкой теоремы, обратной теореме Пифагора. Его можно записать как $a^2 - (b^2 + c^2) = 0$.
Подставив сюда выражение из теоремы косинусов, получим: $-2bc \cos A = 0$.
Поскольку $b > 0$ и $c > 0$, это равенство выполняется только в том случае, если $\cos A = 0$.
Для угла треугольника ($0^\circ < A < 180^\circ$) это условие выполняется только при $A = 90^\circ$.
Ответ: Угол $A$ должен быть прямым ($A = 90^\circ$).

в) Найдем, при каких значениях угла $A$ квадрат стороны будет больше суммы квадратов двух других сторон: $a^2 > b^2 + c^2$.
Это неравенство эквивалентно $a^2 - (b^2 + c^2) > 0$.
Снова используя соотношение из теоремы косинусов, получаем: $-2bc \cos A > 0$.
Так как множитель $-2bc$ отрицателен, для выполнения этого неравенства значение $\cos A$ должно быть отрицательным:
$\cos A < 0$.
Косинус угла отрицателен, если угол тупой. Для угла $A$ в треугольнике это означает, что $90^\circ < A < 180^\circ$.
Ответ: Угол $A$ должен быть тупым ($90^\circ < A < 180^\circ$).