Номер 15, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Стороны треугольника 5 м, 6 м и 7 м. Найдите косинусы его углов.

Для нахождения косинусов углов треугольника, зная длины всех его сторон, используется теорема косинусов. Для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\alpha$, который лежит напротив стороны $a$, теорема косинусов выглядит так:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{\alpha}$

Отсюда можно выразить косинус угла:

$\cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

В данной задаче стороны треугольника равны 5 м, 6 м и 7 м. Обозначим их как $a=5$, $b=6$ и $c=7$. Теперь последовательно найдем косинусы углов, противолежащих каждой из сторон.

Косинус угла, противолежащего стороне 5 м

Найдем косинус угла $\alpha$, лежащего напротив стороны $a=5$. В формулу подставляем $a=5$, $b=6$, $c=7$:

$\cos{\alpha} = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{85 - 25}{84} = \frac{60}{84}$

Сократим полученную дробь на 12:

$\cos{\alpha} = \frac{60}{84} = \frac{5 \cdot 12}{7 \cdot 12} = \frac{5}{7}$

Косинус угла, противолежащего стороне 6 м

Найдем косинус угла $\beta$, лежащего напротив стороны $b=6$. В соответствующую формулу $\cos{\beta} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ подставляем значения:

$\cos{\beta} = \frac{5^2 + 7^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 36}{70} = \frac{74 - 36}{70} = \frac{38}{70}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\cos{\beta} = \frac{38}{70} = \frac{19 \cdot 2}{35 \cdot 2} = \frac{19}{35}$

Косинус угла, противолежащего стороне 7 м

Найдем косинус угла $\gamma$, лежащего напротив стороны $c=7$. В формулу $\cos{\gamma} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ подставляем значения:

$\cos{\gamma} = \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{61 - 49}{60} = \frac{12}{60}$

Сократим полученную дробь на 12:

$\cos{\gamma} = \frac{12}{60} = \frac{1 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{1}{5}$

Ответ: косинусы углов треугольника равны $\frac{5}{7}$, $\frac{19}{35}$ и $\frac{1}{5}$.